Sinussatsen: formel, bevis och exempel

Sinussatsen kopplar varje sida i en triangel till sinus för den motstående vinkeln. Den gäller för spetsvinkliga, rätvinkliga och trubbvinkliga trianglar. Sambandet är särskilt användbart när ett komplett par av en sida och dess motstående vinkel är känt, som i fallen vinkel, sida, vinkel eller vinkel, vinkel, sida. Med två sidor och en vinkel som inte ligger mellan dem visar satsen också om uppgifterna bestämmer noll, en eller två trianglar.

Para ihop varje sida med vinkeln mitt emot

Använd små bokstäver $a$, $b$ och $c$ för sidorna mittemot de stora vinklarna $A$, $B$ och $C$. Om en sida paras ihop med en närliggande vinkel blir proportionen fel. Rita en skiss av triangeln och placera ut varje beteckning innan du sätter in värden. Vinkelsumman ska vara 180° och den längsta sidan ska ligga mittemot den största vinkeln.

Den gemensamma kvoten är också lika med den omskrivna cirkelns dubbla radie $R$. Det ger både en geometrisk tolkning och en kontroll: $\frac{a}{\sin A}$, $\frac{b}{\sin B}$ och $\frac{c}{\sin C}$ ska vara lika med den precision som behållits.

Därför ger den omskrivna cirkeln samma kvot

Varje icke-degenererad triangel har en omskriven cirkel genom sina tre hörn. Rita en diameter genom ett hörn och förena diameterns andra ändpunkt med ett andra hörn. Vinkeln som spänns upp av en diameter är rät. I den rätvinkliga triangel som bildas är sinus för den inskrivna vinkeln lika med den motstående kordan dividerad med diametern $2R$. Samma resonemang för de andra sidorna ger samma kvot.

Beviset omfattar också en trubbig ursprunglig vinkel, eftersom supplementvinklar har samma sinus. Sambandet förutsätter att triangeln inte är degenererad. Tre punkter på en rät linje bestämmer inte en ändlig omskriven cirkel på samma sätt.

Exempel med två vinklar och en sida

Anta att $A=42°$, $B=68°$ och $a=10$ cm. Börja med att beräkna $C=180°-42°-68°=70°$. Använd sedan det kända paret $a,A$ för att beräkna de andra sidorna. Behåll de trigonometriska värdena utan avrundning till sista steget.

Avrundat är $b$ lika med 13,86 cm och $c$ lika med 14,04 cm. Eftersom $C$ är den största vinkeln ska $c$ vara den längsta sidan, vilket den också är. Insättning i de tre kvoterna ger en numerisk kontroll.

SSV-uppgifter kan beskriva två olika trianglar

Om $A=30°$, $a=7$ och $b=10$, ger satsen $\sin B=\frac{5}{7}$. Sinus har samma positiva värde för en spetsig vinkel och dess supplementvinkel. Därför kan $B$ vara ungefär 45,58° eller 134,42°. Båda alternativen lämnar en positiv tredje vinkel, så båda trianglarna är giltiga. I andra uppgifter kan supplementalternativet göra vinkelsumman minst 180°, så att endast en triangel återstår.

Det här är det tvetydiga fallet sida, sida, vinkel. En räknare som bara ger huvudvärdet för invers sinus kan utan varning missa den andra triangeln. Kontrollera alltid supplementvinkeln och vinkelsumman.

Välj den sats som passar de givna uppgifterna

Använd sinussatsen först för fallen vinkel, sida, vinkel, vinkel, vinkel, sida och många fall med sida, sida, vinkel. Använd cosinussatsen när två sidor och den mellanliggande vinkeln är kända eller när alla tre sidor är kända, eftersom de fallen inte börjar med ett par av en sida och dess motstående vinkel. I en rätvinklig triangel är $\sin 90°=1$, så sidan mittemot den räta vinkeln är diametern i den omskrivna cirkeln och formeln övergår konsekvent i de välkända kvoterna för rätvinkliga trianglar. För själva funktionsvärdena, se sinus, cosinus och tangens.