Loi des sinus : formule, démonstration et exemples

La loi des sinus relie chaque côté d'un triangle au sinus de l'angle opposé. Elle s'applique aux triangles aigus, rectangles et obtus. Elle est particulièrement utile lorsqu'on connaît un couple complet formé par un côté et son angle opposé, comme dans les données angle-côté-angle ou angle-angle-côté. Avec deux côtés et un angle non compris, elle indique également si les données déterminent zéro, un ou deux triangles.

Associez chaque côté à l'angle qui lui fait face

Utilisez les minuscules $a$, $b$ et $c$ pour les côtés opposés aux angles majuscules $A$, $B$ et $C$. Associer un côté à un angle adjacent rend la proportion fausse. Avant de remplacer les valeurs, faites un croquis du triangle et placez chaque lettre. La somme des angles doit être égale à 180°, et le plus grand côté doit faire face au plus grand angle.

Le rapport commun est aussi égal au double du rayon $R$ du cercle circonscrit. Cela fournit une interprétation géométrique et une vérification : $\frac{a}{\sin A}$, $\frac{b}{\sin B}$ et $\frac{c}{\sin C}$ doivent coïncider à la précision conservée.

Pourquoi le cercle donne le même rapport

Tout triangle non dégénéré possède un cercle circonscrit qui passe par ses trois sommets. Tracez un diamètre passant par un sommet, puis reliez son autre extrémité à un deuxième sommet. Un angle inscrit qui intercepte un diamètre est droit. Dans le triangle rectangle ainsi obtenu, le sinus de l'angle inscrit est égal à la corde opposée divisée par le diamètre $2R$. Répéter le raisonnement pour les autres côtés donne le même rapport.

La démonstration couvre aussi le cas où le triangle initial possède un angle obtus, car un angle et son supplémentaire ont le même sinus. La relation suppose un triangle non dégénéré; trois points alignés ne déterminent pas de la même manière un cercle circonscrit de rayon fini.

Exemple détaillé avec deux angles et un côté

Supposons que $A=42°$, $B=68°$ et $a=10$ cm. Calculez d'abord $C=180°-42°-68°=70°$. Utilisez ensuite le couple connu $a,A$ pour déterminer les autres côtés. Conservez les valeurs trigonométriques non arrondies jusqu'à la dernière étape.

Le résultat est approximativement $b=\mathrm{13,86}$ cm et $c=\mathrm{14,04}$ cm. Puisque $C$ est le plus grand angle, $c$ doit être le plus grand côté, ce qui est bien le cas. Le remplacement dans les trois rapports fournit une vérification numérique.

Des données côté-côté-angle peuvent décrire deux triangles différents

Si $A=30°$, $a=7$ et $b=10$, la loi donne $\sin B=\frac{5}{7}$. Le sinus a la même valeur positive pour un angle aigu et pour son supplémentaire. Ainsi, $B$ peut mesurer environ 45,58° ou 134,42°. Dans les deux cas, le troisième angle reste positif, donc les deux triangles sont valides. Pour d'autres données, l'angle supplémentaire peut porter la somme à 180° ou au-delà, et il ne reste alors qu'un seul triangle.

C'est le cas ambigu côté-côté-angle. Une calculatrice qui ne renvoie que la valeur principale de l'arcsinus peut omettre silencieusement le second triangle. Vérifiez à chaque fois l'angle supplémentaire et la somme des angles.

Choisissez la loi adaptée aux données connues

Utilisez d'abord la loi des sinus pour des données angle-côté-angle, angle-angle-côté et dans de nombreux cas côté-côté-angle. Employez la loi des cosinus pour des données côté-angle-côté ou trois côtés connus, car ces situations ne fournissent pas d'emblée un couple opposé. Dans un triangle rectangle, $\sin 90°=1$; le côté opposé à l'angle droit est donc le diamètre du cercle circonscrit et la formule retrouve les rapports habituels du triangle rectangle. Pour étudier les valeurs des fonctions elles-mêmes, consultez le sinus, le cosinus et la tangente.