Lei dos senos: fórmula, demonstração e exemplos

A lei dos senos relaciona cada lado de um triângulo com o seno do ângulo oposto. Funciona em triângulos acutângulos, retângulos e obtusângulos. É particularmente útil quando se conhece um par completo de lado e ângulo opostos, como nos dados ângulo-lado-ângulo ou ângulo-ângulo-lado. Com dois lados e um ângulo não compreendido, também revela se a informação determina zero, um ou dois triângulos.

Faça corresponder cada lado ao ângulo oposto

Use as letras minúsculas $a$, $b$ e $c$ para os lados opostos aos ângulos $A$, $B$ e $C$, escritos em maiúsculas. Associar um lado a um ângulo adjacente invalida a proporção. Antes de substituir valores, desenhe o triângulo e coloque cada letra. Os ângulos têm de somar 180°, e o maior lado tem de estar diante do maior ângulo.

O quociente comum também é igual ao dobro do raio da circunferência circunscrita $R$. Esta relação oferece uma interpretação geométrica e uma verificação: $\frac{a}{\sin A}$, $\frac{b}{\sin B}$ e $\frac{c}{\sin C}$ devem coincidir até à precisão conservada.

Porque é que a circunferência produz o mesmo quociente

Todo o triângulo não degenerado admite uma circunferência que passa pelos três vértices. Trace um diâmetro por um dos vértices e una a outra extremidade a um segundo vértice. O ângulo inscrito numa semicircunferência é reto. No triângulo retângulo obtido, o seno do ângulo inscrito é o quociente entre a corda oposta e o diâmetro $2R$. Repetir o raciocínio para os outros lados conduz ao mesmo quociente.

A demonstração também abrange um ângulo obtuso no triângulo inicial, porque ângulos inscritos suplementares têm o mesmo seno. A relação exige um triângulo não degenerado; três pontos colineares não determinam uma circunferência finita da mesma forma.

Exemplo resolvido com dois ângulos e um lado

Considere $A=42°$, $B=68°$ e $a=10$ cm. Comece por determinar $C=180°-42°-68°=70°$. Depois use o par conhecido $a,A$ para calcular os restantes lados. Conserve os valores trigonométricos sem arredondar até ao último passo.

O resultado aproximado é $b=\mathrm{13,86}$ cm e $c=\mathrm{14,04}$ cm. Como $C$ é o maior ângulo, $c$ deve ser o maior lado, como de facto acontece. A substituição nos três quocientes permite uma verificação numérica.

Os dados LLA podem descrever dois triângulos diferentes

Se $A=30°$, $a=7$ e $b=10$, a lei dá $\sin B=\frac{5}{7}$. O seno tem o mesmo valor positivo para um ângulo agudo e para o seu suplemento. Assim, $B$ pode medir aproximadamente 45,58° ou 134,42°. Ambas as opções deixam um terceiro ângulo positivo, pelo que os dois triângulos são válidos. Noutros conjuntos de dados, a opção suplementar pode fazer a soma chegar a 180° ou ultrapassá-los, restando apenas um triângulo.

Este é o caso ambíguo lado-lado-ângulo. Uma calculadora que devolva apenas o valor principal do arco seno pode omitir silenciosamente o segundo triângulo. Verifique sempre o suplemento e a soma dos ângulos.

Escolha a lei que corresponde aos dados disponíveis

Comece pela lei dos senos em problemas ALA, AAL e em muitos casos LLA. Use a lei dos cossenos quando conhece lado-ângulo-lado ou os três lados, pois esses casos não começam com um par oposto. Num triângulo retângulo, $\sin 90°=1$, logo o lado oposto ao ângulo reto é o diâmetro da circunferência circunscrita, e a fórmula reduz-se de modo coerente às razões habituais do triângulo retângulo. Para estudar os valores das funções, consulte seno, cosseno e tangente.