Il teorema dei seni mette in relazione ogni lato di un triangolo con il seno dell'angolo opposto. Vale per triangoli acutangoli, rettangoli e ottusangoli. È particolarmente utile quando si conosce almeno una coppia completa lato-angolo opposto, come nei dati angolo-lato-angolo o angolo-angolo-lato. Con due lati e un angolo non compreso, permette anche di stabilire se i dati determinano zero, uno o due triangoli.
Associare ogni lato all'angolo opposto
Si usano le lettere minuscole , e per i lati opposti agli angoli maiuscoli , e . Abbinare un lato a un angolo adiacente rende errata la proporzione. Prima di sostituire i dati conviene fare uno schizzo e collocare le etichette. Gli angoli devono sommare 180° e il lato più lungo deve stare di fronte all'angolo più grande.
Il rapporto comune vale anche due volte il raggio circoscritto . Questa forma offre un'interpretazione geometrica e un controllo: i tre quozienti devono coincidere entro la precisione conservata.
La circonferenza circoscritta spiega il rapporto
Ogni triangolo non degenere ammette una circonferenza passante per i tre vertici. Si traccia un diametro da un vertice e si unisce l'altro estremo del diametro a un secondo vertice. L'angolo inscritto che insiste sul diametro è retto. Nel triangolo rettangolo ottenuto, il seno dell'angolo inscritto è la corda opposta divisa per il diametro . Ripetendo l'argomento per gli altri lati si ottiene lo stesso rapporto.
La dimostrazione vale anche se l'angolo originale è ottuso, perché angoli inscritti supplementari hanno lo stesso seno. La relazione richiede un triangolo non degenere: tre punti allineati non definiscono allo stesso modo una circonferenza circoscritta finita.
Esempio svolto con due angoli e un lato
Siano , e cm. Prima si trova . Poi si usa la coppia nota per calcolare gli altri lati. I valori trigonometrici vanno conservati senza arrotondamenti intermedi.
Si ottengono circa cm e cm. Poiché è l'angolo maggiore, deve essere il lato maggiore, come accade. La sostituzione nei tre rapporti fornisce un ulteriore controllo numerico.
I dati lato-lato-angolo (LLA) possono produrre due triangoli
Se , e , la relazione dà . Il seno ha lo stesso valore positivo per un angolo acuto e per il suo supplementare. Quindi può misurare circa 45,58° oppure 134,42°. In entrambi i casi resta un terzo angolo positivo e i due triangoli sono validi. Con altri dati, l'angolo supplementare può portare la somma a 180° o oltre, lasciando una sola soluzione.
È il caso ambiguo lato-lato-angolo. Una calcolatrice che restituisce soltanto il valore principale dell'arcoseno può nascondere il secondo triangolo. Occorre controllare sempre il supplementare e la somma degli angoli.
Scegliere il teorema adatto ai dati
Il teorema dei seni è la prima scelta nei casi ALA, AAL e in molti casi LLA. Il teorema del coseno è più diretto con lato-angolo-lato o con tre lati, perché non serve inizialmente una coppia opposta. In un triangolo rettangolo, : il lato opposto all'angolo retto coincide con il diametro della circonferenza circoscritta e la formula è coerente con i rapporti abituali. Per studiare i valori delle funzioni, si veda seno, coseno e tangente.
