Sinussetningen: formel, bevis og eksempler

Sinussetningen knytter hver side i en trekant til sinus til den motstående vinkelen. Den gjelder for spissvinklede, rettvinklede og stumpvinklede trekanter. Setningen er særlig nyttig når et helt motstående side-vinkel-par er kjent, som ved vinkel-side-vinkel eller vinkel-vinkel-side. Med to sider og en vinkel som ikke ligger mellom dem, viser den også om opplysningene bestemmer null, én eller to trekanter.

Knytt hver side til vinkelen på motsatt side

Bruk små bokstaver $a$, $b$ og $c$ for sidene som ligger mot de store vinklene $A$, $B$ og $C$. Hvis en side kobles til en hosliggende vinkel, blir forholdet feil. Tegn trekanten og plasser alle betegnelsene før tallene settes inn. Vinklene må til sammen være 180°, og den største siden må ligge mot den største vinkelen.

Det felles forholdet er også lik to ganger radiusen $R$ i den omskrevne sirkelen. Det gir både en geometrisk tolkning og en kontroll: $\frac{a}{\sin A}$, $\frac{b}{\sin B}$ og $\frac{c}{\sin C}$ skal være like med den valgte nøyaktigheten.

Hvorfor den omskrevne sirkelen gir samme forhold

Enhver ikke-degenerert trekant har en omskrevet sirkel gjennom de tre hjørnene. Tegn en diameter gjennom ett hjørne, og forbind det andre endepunktet med et annet hjørne. En periferivinkel som spenner over en diameter, er rett. I den resulterende rettvinklede trekanten er sinus til den innskrevne vinkelen lik den motstående korden delt på diameteren $2R$. Når argumentet gjentas for de andre sidene, får vi det samme forholdet.

Beviset dekker også en stump vinkel i den opprinnelige trekanten fordi supplementvinkler som periferivinkler har samme sinus. Forholdet krever en ikke-degenerert trekant; tre punkter på samme linje bestemmer ikke en endelig omskrevet sirkel på samme måte.

Gjennomregnet eksempel med to vinkler og én side

Anta at $A=42°$, $B=68°$ og $a=10$ cm. Finn først $C=180°-42°-68°=70°$. Bruk deretter det kjente paret $a,A$ til å regne ut de andre sidene. Behold de trigonometriske verdiene uten avrunding til siste trinn.

Resultatet er omtrent $b=\mathrm{13,86}$ cm og $c=\mathrm{14,04}$ cm. Siden $C$ er den største vinkelen, skal $c$ være den største siden, og det er den. Innsetting i alle tre forhold gir en numerisk kontroll.

Side-side-vinkel-data kan beskrive to forskjellige trekanter

Hvis $A=30°$, $a=7$ og $b=10$, gir setningen $\sin B=\frac{5}{7}$. Sinus har samme positive verdi for en spiss vinkel og supplementvinkelen. Derfor kan $B$ være omtrent 45,58° eller 134,42°. Begge alternativene etterlater en positiv tredje vinkel, så begge trekantene er gyldige. Med andre data kan supplementvinkelen få vinkelsummen til å nå eller overstige 180°, slik at bare én trekant står igjen.

Dette er det tvetydige side-side-vinkel-tilfellet. En kalkulator som bare returnerer hovedverdien til arcsinus, kan overse den andre trekanten uten å varsle. Kontroller alltid supplementvinkelen og vinkelsummen.

Velg setningen som passer til de gitte opplysningene

Bruk sinussetningen først ved vinkel-side-vinkel, vinkel-vinkel-side og mange side-side-vinkel-oppgaver. Bruk cosinussetningen ved side-vinkel-side eller tre kjente sider, fordi disse tilfellene ikke starter med et motstående par. I en rettvinklet trekant er $\sin 90°=1$, så siden mot den rette vinkelen er diameteren i den omskrevne sirkelen, og formelen reduseres konsekvent til de kjente forholdene i den rettvinklede trekanten. Se sinus, cosinus og tangens for selve funksjonsverdiene.