Sinusregel: formule, bewijs en voorbeelden

De sinusregel koppelt iedere zijde van een driehoek aan de sinus van de overstaande hoek. Hij geldt voor scherpe, rechte en stompe driehoeken. De verhouding is bijzonder bruikbaar wanneer één volledig paar van een zijde en haar overstaande hoek bekend is, zoals bij hoek-zijde-hoek- of hoek-hoek-zijde-gegevens. Bij twee zijden en een niet-ingesloten hoek laat de regel ook zien of de gegevens nul, één of twee driehoeken bepalen.

Koppel iedere zijde aan de hoek ertegenover

Gebruik kleine letters $a$, $b$ en $c$ voor de zijden tegenover de hoofdletterhoeken $A$, $B$ en $C$. Een zijde koppelen aan een aanliggende hoek maakt de verhouding onjuist. Schets de driehoek voor het invullen en plaats ieder label. De hoeken moeten samen 180° zijn en de grootste zijde moet tegenover de grootste hoek liggen.

De gemeenschappelijke verhouding is ook gelijk aan tweemaal de omgeschreven straal $R$. Dat geeft zowel een meetkundige interpretatie als een controle: $\frac{a}{\sin A}$, $\frac{b}{\sin B}$ en $\frac{c}{\sin C}$ moeten bij de aangehouden nauwkeurigheid overeenkomen.

Waarom de omgeschreven cirkel dezelfde verhouding geeft

Iedere niet-ontaarde driehoek heeft een omgeschreven cirkel door zijn drie hoekpunten. Teken een middellijn door één hoekpunt en verbind het andere uiteinde met een tweede hoekpunt. De hoek op een middellijn is recht. In de ontstane rechthoekige driehoek is de sinus van de omtrekshoek gelijk aan de overstaande koorde gedeeld door de middellijn $2R$. Hetzelfde argument voor de andere zijden geeft telkens dezelfde verhouding.

Dit bewijs werkt ook bij een stompe oorspronkelijke hoek, omdat supplementaire omtrekshoeken dezelfde sinus hebben. De relatie veronderstelt dat de driehoek niet ontaard is. Drie punten op één lijn bepalen niet op dezelfde manier een eindige omgeschreven cirkel.

Uitgewerkt voorbeeld met twee hoeken en één zijde

Stel dat $A=42°$, $B=68°$ en $a=10$ cm. Bereken eerst $C=180°-42°-68°=70°$. Gebruik daarna het bekende paar $a,A$ om de andere zijden te vinden. Rond de goniometrische waarden pas in de laatste stap af.

Afgerond is $b$ gelijk aan 13,86 cm en $c$ aan 14,04 cm. Omdat $C$ de grootste hoek is, hoort $c$ de grootste zijde te zijn. Dat klopt. Invullen in de drie verhoudingen geeft een numerieke controle.

ZZH-gegevens kunnen twee verschillende driehoeken beschrijven

Als $A=30°$, $a=7$ en $b=10$, geeft de sinusregel $\sin B=\frac{5}{7}$. De sinus heeft dezelfde positieve waarde voor een scherpe hoek en zijn supplement. Daarom kan $B$ ongeveer 45,58° of 134,42° zijn. In beide gevallen blijft een positieve derde hoek over, dus beide driehoeken zijn geldig. Bij andere gegevens kan de supplementaire mogelijkheid de hoekensom tot minstens 180° brengen, waarna slechts één driehoek overblijft.

Dit is het dubbelzinnige zijde-zijde-hoek-geval. Een rekenmachine die alleen de hoofdwaarde van de inverse sinus geeft, kan ongemerkt de tweede driehoek missen. Controleer daarom altijd het supplement en de hoekensom.

Kies de regel die bij de gegeven informatie past

Gebruik de sinusregel eerst bij HZH, HHZ en veel ZZH-opgaven. Gebruik de cosinusregel voor zijde-hoek-zijde-gegevens of drie bekende zijden, omdat die gevallen niet met een overstaand paar beginnen. In een rechthoekige driehoek is $\sin 90°=1$. De zijde tegenover de rechte hoek is daardoor de middellijn van de omgeschreven cirkel, en de formule sluit aan bij de bekende verhoudingen in een rechthoekige driehoek. Zie voor de functiewaarden zelf sinus, cosinus en tangens.