Goniometrische functies: sinus, cosinus en tangens

Goniometrische functies zetten een hoek om in een getal. Op de eenheidscirkel heeft het punt dat bij een gerichte hoek $\theta$ hoort horizontale coördinaat $\cos \theta$ en verticale coördinaat $\sin \theta$. De tangens is het quotiënt van beide, zolang de horizontale coördinaat niet nul is. Deze kijk verbindt verhoudingen in een rechthoekige driehoek, cirkelbewegingen en periodieke grafieken in één model. Het zijn dus geen losstaande formules.

Hoe één hoek drie functiewaarden oplevert

Begin op de positieve horizontale as. Draai tegen de klok in voor een positieve hoek en met de klok mee voor een negatieve hoek. Het punt op de eenheidscirkel bepaalt cosinus en sinus rechtstreeks. De tangens is de helling van de straal door dat punt. Daarom is hij niet gedefinieerd bij oneven veelvouden van 90°, waar de straal verticaal staat. Voor een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek leveren dezelfde coördinaten de verhoudingen aanliggende rechthoekszijde gedeeld door schuine zijde, overstaande rechthoekszijde gedeeld door schuine zijde en overstaande gedeeld door aanliggende rechthoekszijde.

Een hoek kan in graden of radialen worden geschreven. Een volledige omwenteling is 360° of $2\pi$ radialen. In de analyse en de meeste hogere wiskunde worden radialen gebruikt, omdat ze een hoek meten als booglengte gedeeld door straal. Welke eenheid je ook kiest, stel de rekenmachine daarop in voordat je een functiewaarde berekent.

Onderzoek sinus, cosinus en tangens

Verplaats de schuif, volg het punt over de eenheidscirkel en vergelijk de drie waarden.

Hoek

Domeinen, bereiken en herhalende grafieken

Sinus en cosinus accepteren iedere reële hoek en blijven altijd tussen min één en één. Beide herhalen zich na $2\pi$. De sinus is oneven: als het teken van de hoek verandert, verandert ook het teken van de uitkomst. De cosinus is even en heeft dus dezelfde waarde bij tegengestelde hoeken. De tangens is gedefinieerd voor iedere reële hoek behalve $\frac{\pi }{2}+k\pi$, kan elke reële waarde aannemen en herhaalt zich na $\pi$.

Deze eigenschappen verklaren de grafieken. De sinus snijdt de horizontale as bij gehele veelvouden van $\pi$. De cosinus is één bij volledige omwentelingen en min één na een halve omwenteling. De tangens snijdt de horizontale as bij gehele veelvouden van $\pi$ en nadert verticale asymptoten halverwege deze nulpunten. Een asymptoot betekent niet dat de functie bij de uitgesloten hoek een zeer grote waarde heeft. De functie heeft daar helemaal geen waarde.

Exacte waarden volgen uit referentiehoek en kwadrant

De bekende waarden voor 30°, 45° en 60° komen uit de gelijkzijdige en de gelijkbenige rechthoekige driehoek. Zoek voor een grotere of negatieve hoek eerst een coterminale hoek tussen 0° en 360°. Bepaal daarna de referentiehoek, de scherpe hoek met de horizontale as. De referentiehoek geeft de absolute waarde en het kwadrant bepaalt het teken. Cosinus is negatief in de linkerhelft van de cirkel, sinus is negatief onder de horizontale as en tangens is positief waar sinus en cosinus hetzelfde teken hebben.

Uitgewerkt voorbeeld: de drie functies bij 150°

De hoek 150° ligt in kwadrant II en heeft referentiehoek 30°. Bij 30° is de sinus één half en de cosinus de vierkantswortel van drie gedeeld door twee. In kwadrant II is de verticale coördinaat positief en de horizontale coördinaat negatief. Deel sinus door cosinus voor de tangens en rationaliseer de noemer als een exacte vorm wordt gevraagd.

Het resultaat biedt ook een snelle controle: het punt moet voldoen aan ${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$, en een positief getal gedeeld door een negatief getal geeft een negatieve tangens. Wil je een driehoek oplossen met een bekend paar van een zijde en de overstaande hoek, ga dan verder met de sinusregel.

Wat er verandert bij een transformatie van de grafiek

In een voorschrift zoals $y=A\sin \left(B(x-C)\right)+D$ is de absolute waarde van $A$ de amplitude, $\frac{2\pi }{\left|B\right|}$ de periode, $C$ de horizontale verschuiving en $D$ de evenwichtslijn. Voor cosinus werken dezelfde parameters. Tangens heeft geen amplitude omdat de functie onbegrensd is; zijn basisperiode wordt $\frac{\pi }{\left|B\right|}$. Met deze transformaties kunnen getijden, wisselsignalen en draaiende mechanismen worden beschreven. Een periodiek model is alleen zinvol als het onderliggende proces zich werkelijk herhaalt.