Fonctions trigonométriques : sinus, cosinus et tangente

Les fonctions trigonométriques associent un nombre à un angle. Sur le cercle trigonométrique, le point atteint par un angle orienté $\theta$ a pour abscisse $\cos \theta$ et pour ordonnée $\sin \theta$. La tangente est le quotient de ces deux coordonnées lorsque l'abscisse n'est pas nulle. Ce point de vue réunit les rapports du triangle rectangle, le mouvement circulaire et les courbes périodiques dans un même modèle, au lieu d'en faire des formules sans lien.

Comment un angle produit trois valeurs

Partez du demi-axe horizontal positif et tournez dans le sens inverse des aiguilles d'une montre pour un angle positif, ou dans le sens des aiguilles pour un angle négatif. Le point du cercle trigonométrique détermine directement le cosinus et le sinus. La tangente est la pente du rayon qui passe par ce point. Elle n'est donc pas définie aux multiples impairs de 90°, lorsque le rayon est vertical. Pour un angle aigu dans un triangle rectangle, les mêmes coordonnées donnent côté adjacent sur hypoténuse, côté opposé sur hypoténuse et côté opposé sur côté adjacent.

L'angle peut être exprimé en degrés ou en radians. Un tour complet mesure 360° ou $2\pi$ radians. L'analyse et la plupart des mathématiques supérieures utilisent les radians, car ils mesurent un angle par le quotient de la longueur de l'arc sur le rayon. Quelle que soit l'unité choisie, réglez la calculatrice sur cette unité avant d'évaluer une valeur.

Explorez le sinus, le cosinus et la tangente

Déplacez le curseur pour suivre le point sur le cercle trigonométrique et comparer les trois valeurs.

Angle

Domaines, images et répétition des courbes

Le sinus et le cosinus acceptent tout angle réel et restent toujours compris entre moins un et un. Tous deux se répètent après $2\pi$. Le sinus est impair : changer le signe de l'angle change le signe du résultat. Le cosinus est pair et prend donc la même valeur pour deux angles opposés. La tangente accepte tout angle réel sauf $\frac{\pi }{2}+k\pi$, peut prendre n'importe quelle valeur réelle et se répète après $\pi$.

Ces propriétés expliquent les courbes. Le sinus s'annule aux multiples entiers de $\pi$. Le cosinus vaut un après un tour complet et moins un après un demi-tour. La tangente s'annule aux multiples entiers de $\pi$ et se rapproche d'asymptotes verticales à mi-chemin entre eux. Une asymptote ne représente pas une valeur très grande de la fonction à l'angle exclu. La fonction n'a tout simplement pas de valeur à cet endroit.

Les valeurs exactes viennent de l'angle de référence et du quadrant

Les valeurs classiques de 30°, 45° et 60° proviennent du triangle équilatéral et du triangle rectangle isocèle. Pour évaluer un angle plus grand ou négatif, trouvez d'abord un angle associé compris entre 0° et 360°. Repérez ensuite son angle de référence, c'est-à-dire l'angle aigu formé avec l'axe horizontal. L'angle de référence donne la valeur absolue et le quadrant donne le signe. Le cosinus est négatif dans la moitié gauche du cercle, le sinus est négatif sous l'axe horizontal et la tangente est positive lorsque sinus et cosinus ont le même signe.

Exemple détaillé : calculer les trois fonctions à 150°

L'angle de 150° se trouve dans le deuxième quadrant et a pour angle de référence 30°. À 30°, le sinus vaut un demi et le cosinus vaut la racine carrée de trois sur deux. Dans le deuxième quadrant, l'ordonnée est positive et l'abscisse est négative. Divisez le sinus par le cosinus pour obtenir la tangente, puis rationalisez le dénominateur si une forme exacte est demandée.

Le résultat permet aussi une vérification rapide : le point doit satisfaire ${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$, et un nombre positif divisé par un nombre négatif doit donner une tangente négative. Pour résoudre un triangle lorsqu'un côté et l'angle opposé sont connus, poursuivez avec la loi des sinus.

Comment les transformations modifient la courbe

Dans une expression comme $y=A\sin \left(B(x-C)\right)+D$, la valeur absolue de $A$ est l'amplitude, $\frac{2\pi }{\left|B\right|}$ est la période, $C$ est le décalage horizontal et $D$ définit la ligne médiane. Le cosinus utilise les mêmes paramètres. La tangente n'a pas d'amplitude puisqu'elle n'est pas bornée; sa période de base devient $\frac{\pi }{\left|B\right|}$. Ces transformations peuvent décrire des marées, des signaux alternatifs ou des mécanismes rotatifs, mais un ajustement périodique n'a de sens que si le phénomène étudié se répète lui aussi.