Trigonometrische Funktionen: Sinus, Kosinus und Tangens

Trigonometrische Funktionen ordnen einem Winkel eine Zahl zu. Auf dem Einheitskreis hat der Punkt, den ein gerichteter Winkel $\theta$ erreicht, die waagerechte Koordinate $\cos \theta$ und die senkrechte Koordinate $\sin \theta$. Der Tangens ist ihr Quotient, sofern die waagerechte Koordinate nicht null ist. Diese Sichtweise führt die Seitenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck, Kreisbewegungen und periodische Graphen in einem Modell zusammen, statt sie als voneinander unabhängige Formeln zu behandeln.

Wie aus einem Winkel drei Funktionswerte entstehen

Beginne auf der positiven waagerechten Achse. Bei einem positiven Winkel drehst du gegen den Uhrzeigersinn, bei einem negativen im Uhrzeigersinn. Der Punkt auf dem Einheitskreis bestimmt Kosinus und Sinus direkt. Der Tangens ist die Steigung des Radius durch diesen Punkt. Deshalb ist er bei ungeraden Vielfachen von 90° nicht definiert, denn dort steht der Radius senkrecht. Für einen spitzen Winkel im rechtwinkligen Dreieck ergeben dieselben Koordinaten die Verhältnisse Ankathete zu Hypotenuse, Gegenkathete zu Hypotenuse und Gegenkathete zu Ankathete.

Der Winkel kann in Grad oder im Bogenmaß angegeben werden. Eine vollständige Umdrehung entspricht 360° oder $2\pi$ Radiant. In der Analysis und in weiten Teilen der höheren Mathematik wird das Bogenmaß verwendet, weil es einen Winkel als Bogenlänge geteilt durch Radius misst. Unabhängig von der gewählten Einheit muss der Taschenrechner vor der Berechnung auf die passende Winkeleinheit eingestellt sein.

Sinus, Kosinus und Tangens erkunden

Bewege den Regler, folge dem Punkt auf dem Einheitskreis und vergleiche die drei Werte.

Winkel

Definitionsmengen, Wertemengen und periodische Graphen

Sinus und Kosinus sind für jeden reellen Winkel definiert und nehmen nur Werte zwischen minus eins und eins an. Beide wiederholen sich nach $2\pi$. Der Sinus ist ungerade: Wird das Vorzeichen des Winkels geändert, ändert sich auch das Vorzeichen des Funktionswerts. Der Kosinus ist gerade und hat deshalb bei entgegengesetzten Winkeln denselben Wert. Der Tangens ist für alle reellen Winkel außer $\frac{\pi }{2}+k\pi$ definiert, kann jeden reellen Wert annehmen und wiederholt sich nach $\pi$.

Diese Eigenschaften erklären die Graphen. Der Sinus schneidet die waagerechte Achse bei ganzzahligen Vielfachen von $\pi$. Der Kosinus erreicht bei vollständigen Umdrehungen den Wert eins und nach einer halben Umdrehung den Wert minus eins. Der Tangens hat seine Nullstellen bei ganzzahligen Vielfachen von $\pi$ und nähert sich dazwischen senkrechten Asymptoten. Eine Asymptote bedeutet nicht, dass die Funktion am ausgeschlossenen Winkel einen sehr großen Wert hat. Dort besitzt sie schlicht keinen Wert.

Exakte Werte aus Bezugswinkel und Quadrant bestimmen

Die bekannten Werte für 30°, 45° und 60° folgen aus dem gleichseitigen und dem gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck. Um einen größeren oder negativen Winkel auszuwerten, bestimmt man zunächst einen koterminalen Winkel zwischen 0° und 360°. Anschließend sucht man den Bezugswinkel, also den spitzen Winkel zur waagerechten Achse. Der Bezugswinkel liefert den Betrag, der Quadrant das Vorzeichen. Der Kosinus ist in der linken Hälfte des Kreises negativ, der Sinus unterhalb der waagerechten Achse. Der Tangens ist dort positiv, wo Sinus und Kosinus dasselbe Vorzeichen haben.

Rechenbeispiel: die drei Funktionen bei 150°

Der Winkel 150° liegt im zweiten Quadranten und hat den Bezugswinkel 30°. Bei 30° ist der Sinus ein Halb und der Kosinus die Quadratwurzel aus drei geteilt durch zwei. Im zweiten Quadranten ist die senkrechte Koordinate positiv und die waagerechte negativ. Teile den Sinus durch den Kosinus, um den Tangens zu erhalten, und rationalisiere den Nenner, wenn eine exakte Form verlangt wird.

Das Ergebnis lässt sich schnell prüfen: Der Punkt muss ${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$ erfüllen, und eine positive Zahl geteilt durch eine negative ergibt einen negativen Tangens. Wenn du ein Dreieck mit einem bekannten Gegenüberpaar aus Seite und Winkel lösen möchtest, lies beim Sinussatz weiter.

Wie Parameter den Funktionsgraphen verändern

In einer Funktionsgleichung wie $y=A\sin \left(B(x-C)\right)+D$ ist der Betrag von $A$ die Amplitude, $\frac{2\pi }{\left|B\right|}$ die Periode, $C$ die Verschiebung in waagerechter Richtung und $D$ die Mittellinie. Für den Kosinus gelten dieselben Parameter. Der Tangens besitzt keine Amplitude, weil er nicht beschränkt ist; seine Grundperiode wird zu $\frac{\pi }{\left|B\right|}$. Solche Transformationen können Gezeiten, Wechselspannung oder rotierende Mechanismen beschreiben. Eine periodische Anpassung ist jedoch nur sinnvoll, wenn sich auch der modellierte Vorgang tatsächlich wiederholt.