Trigonometriske funksjoner: sinus, cosinus og tangens

Trigonometriske funksjoner gjør en vinkel om til et tall. På enhetssirkelen har punktet som nås av en rettet vinkel $\theta$, vannrett koordinat $\cos \theta$ og loddrett koordinat $\sin \theta$. Tangens er kvotienten mellom disse når den vannrette koordinaten ikke er null. Dette perspektivet samler sideforhold i rettvinklede trekanter, sirkelbevegelse og periodiske grafer i én modell, i stedet for å behandle dem som formler uten sammenheng.

Slik blir en vinkel til tre funksjonsverdier

Start på den positive vannrette aksen, og drei mot klokken for en positiv vinkel eller med klokken for en negativ vinkel. Punktet på enhetssirkelen bestemmer cosinus og sinus direkte. Tangens er stigningstallet til radien gjennom punktet og er derfor ikke definert ved odde multipler av 90°, der radien er loddrett. For en spiss vinkel i en rettvinklet trekant gir de samme koordinatene hosliggende katet delt på hypotenusen, motstående katet delt på hypotenusen og motstående katet delt på hosliggende katet.

Vinkelen kan oppgis i grader eller radianer. En hel omdreining er 360° eller $2\pi$ radianer. I kalkulus og det meste av høyere matematikk brukes radianer fordi de måler en vinkel som buelengde delt på radius. Uansett hvilken enhet du velger, må kalkulatoren stilles inn på den samme enheten før du beregner en verdi.

Utforsk sinus, cosinus og tangens

Flytt glidebryteren, følg punktet rundt enhetssirkelen og sammenlign de tre verdiene.

Vinkel

Definisjonsmengder, verdimengder og grafer som gjentar seg

Sinus og cosinus godtar alle reelle vinkler og holder seg alltid mellom minus én og én. Begge gjentar seg etter $2\pi$. Sinus er en odde funksjon, så et skifte av vinkelens fortegn skifter fortegnet til funksjonsverdien. Cosinus er en jevn funksjon og har derfor samme verdi ved motsatte vinkler. Tangens godtar alle reelle vinkler bortsett fra $\frac{\pi }{2}+k\pi$, kan ha alle reelle tall som verdi og gjentar seg etter $\pi$.

Disse egenskapene forklarer grafene. Sinus krysser null ved heltallige multipler av $\pi$. Cosinus når én ved hele omdreininger og minus én etter en halv omdreining. Tangens krysser null ved heltallige multipler av $\pi$ og nærmer seg loddrette asymptoter midt mellom dem. En asymptote betyr ikke at funksjonen har en svært stor verdi ved den utelatte vinkelen. Funksjonen har rett og slett ingen verdi der.

Eksakte verdier fra en referansevinkel og en kvadrant

De kjente verdiene ved 30°, 45° og 60° kommer fra likesidede og likebeinte rettvinklede trekanter. For å regne ut en større eller negativ vinkel finner du først en koterminal vinkel mellom 0° og 360°. Finn deretter referansevinkelen, altså den spisse vinkelen mot den vannrette aksen. Referansevinkelen gir tallverdien, mens kvadranten bestemmer fortegnet. Cosinus er negativ på venstre halvdel av sirkelen, sinus er negativ under den vannrette aksen, og tangens er positiv der sinus og cosinus har samme fortegn.

Gjennomregnet eksempel: de tre funksjonene ved 150°

Vinkelen 150° ligger i andre kvadrant og har referansevinkel 30°. Ved 30° er sinus en halv, og cosinus er kvadratroten av tre delt på to. I andre kvadrant er den loddrette koordinaten positiv og den vannrette negativ. Del sinus på cosinus for å finne tangens, og rasjonaliser nevneren dersom svaret skal oppgis eksakt.

Resultatet gir også en rask kontroll: Punktet må oppfylle ${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$, og et positivt tall delt på et negativt tall må gi negativ tangens. Når en trekant skal løses fra et kjent par av side og motstående vinkel, kan du fortsette med sinussetningen.

Hva endres når grafen transformeres?

I et uttrykk som $y=A\sin \left(B(x-C)\right)+D$ er absoluttverdien til $A$ amplituden, $\frac{2\pi }{\left|B\right|}$ er perioden, $C$ er den vannrette forskyvningen, og $D$ er midtlinjen. Cosinus bruker de samme parameterne. Tangens har ingen amplitude fordi funksjonen ikke er begrenset; grunnperioden blir $\frac{\pi }{\left|B\right|}$. Slike transformasjoner kan beskrive tidevann, vekslende signaler og roterende mekanismer, men en periodisk tilpasning gir bare mening når selve prosessen gjentar seg.