Trigonometriset funktiot: sini, kosini ja tangentti

Trigonometrinen funktio liittää kulmaan luvun. Yksikköympyrällä suunnatun kulman $\theta$ päätepisteen vaakasuora koordinaatti on $\cos \theta$ ja pystysuora koordinaatti $\sin \theta$. Tangentti on näiden koordinaattien osamäärä silloin, kun vaakasuora koordinaatti ei ole nolla. Tämä näkökulma kokoaa suorakulmaisen kolmion sivusuhteet, ympyräliikkeen ja jaksolliset kuvaajat yhdeksi malliksi. Niitä ei tarvitse käsitellä toisistaan irrallisina kaavoina.

Näin kulmasta saadaan kolme funktion arvoa

Aloita positiiviselta vaaka-akselilta. Kierrä positiivisen kulman tapauksessa vastapäivään ja negatiivisen kulman tapauksessa myötäpäivään. Yksikköympyrän piste määrää suoraan kosinin ja sinin. Tangentti on kyseisen pisteen kautta kulkevan säteen kulmakerroin. Siksi sitä ei ole määritelty 90°:n parittomilla monikerroilla, joissa säde on pystysuora. Kun terävä kulma kuuluu suorakulmaiseen kolmioon, samat koordinaatit antavat suhteet viereinen kateetti jaettuna hypotenuusalla, vastakkainen kateetti jaettuna hypotenuusalla sekä vastakkainen kateetti jaettuna viereisellä kateetilla.

Kulma voidaan ilmoittaa asteina tai radiaaneina. Täysi kierros on 360° tai $2\pi$ radiaania. Differentiaali- ja integraalilaskennassa sekä suuressa osassa korkeampaa matematiikkaa käytetään radiaaneja, koska kulma saadaan jakamalla kaaren pituus säteellä. Valitsitpa kumman yksikön tahansa, aseta laskin samaan kulmayksikköön ennen arvon laskemista.

Tutki siniä, kosinia ja tangenttia

Siirrä liukusäädintä, seuraa pistettä yksikköympyrällä ja vertaa kolmea arvoa.

Kulma

Määrittelyjoukot, arvojoukot ja toistuvat kuvaajat

Sini ja kosini hyväksyvät jokaisen reaalisen kulman ja pysyvät aina miinus yhden ja yhden välillä. Molemmat toistuvat välein $2\pi$. Sini on pariton funktio, joten kulman etumerkin vaihtaminen vaihtaa funktion arvon etumerkin. Kosini on parillinen, joten vastakkaisilla kulmilla on sama kosini. Tangentti on määritelty kaikilla reaalisilla kulmilla paitsi kohdissa $\frac{\pi }{2}+k\pi$, sen arvo voi olla mikä tahansa reaaliluku, ja se toistuu välein $\pi$.

Nämä ominaisuudet selittävät kuvaajat. Sini saa arvon nolla kohdissa, jotka ovat luvun $\pi$ kokonaislukumonikertoja. Kosini saa arvon yksi täysillä kierroksilla ja miinus yksi puolen kierroksen jälkeen. Tangentti saa arvon nolla luvun $\pi$ kokonaislukumonikertoina ja lähestyy niiden puolivälissä olevia pystyasymptootteja. Asymptootti ei tarkoita, että funktiolla olisi poissuljetussa kulmassa hyvin suuri arvo. Funktiolla ei ole siinä kohdassa lainkaan arvoa.

Tarkat arvot vertailukulman ja neljänneksen avulla

Tunnetut 30°:n, 45°:n ja 60°:n arvot saadaan tasasivuisesta kolmiosta ja tasakylkisestä suorakulmaisesta kolmiosta. Kun haluat tutkia suurempaa tai negatiivista kulmaa, etsi ensin kulma, jolla on sama päätekylki ja joka on välillä 0° ja 360°. Määritä sitten vertailukulma eli vaaka-akselin kanssa muodostuva terävä kulma. Vertailukulma antaa itseisarvon ja neljännes etumerkin. Kosini on negatiivinen ympyrän vasemmalla puoliskolla, sini on negatiivinen vaaka-akselin alapuolella ja tangentti on positiivinen siellä, missä sinillä ja kosinilla on sama etumerkki.

Laskettu esimerkki: kolme funktiota kulmalla 150°

Kulma 150° on toisessa neljänneksessä, ja sen vertailukulma on 30°. Kulmalla 30° sini on yksi kahdesosa ja kosini on neliöjuuri kolmesta jaettuna kahdella. Toisessa neljänneksessä pystysuora koordinaatti on positiivinen ja vaakasuora koordinaatti negatiivinen. Laske tangentti jakamalla sini kosinilla. Lavenna nimittäjä juurettomaksi, jos vastaus pyydetään tarkassa muodossa.

Tulos tarjoaa myös nopean tarkistuksen: pisteen on toteutettava ${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$, ja positiivinen luku jaettuna negatiivisella luvulla antaa negatiivisen tangentin. Jos kolmio ratkaistaan tunnetun sivun ja sitä vastapäätä olevan kulman avulla, jatka sinilauseeseen.

Mitä kuvaajan muunnoksissa muuttuu?

Lausekkeessa $y=A\sin \left(B(x-C)\right)+D$ luvun $A$ itseisarvo on amplitudi, $\frac{2\pi }{\left|B\right|}$ on jakso, $C$ on vaakasuuntainen siirto ja $D$ määrittää keskiviivan. Kosinissa käytetään samoja parametreja. Tangentilla ei ole amplitudia, koska se ei ole rajoitettu; sen perusjaksoksi tulee $\frac{\pi }{\left|B\right|}$. Muunnoksilla voidaan kuvata vuorovesiä, vaihtuvia signaaleja ja pyöriviä mekanismeja. Jaksollinen sovite on kuitenkin mielekäs vain, jos myös itse ilmiö toistuu.