Funciones trigonométricas: seno, coseno y tangente

Las funciones trigonométricas convierten un ángulo en un número. En la circunferencia unitaria, el punto determinado por un ángulo orientado $\theta$ tiene coordenada horizontal $\cos \theta$ y coordenada vertical $\sin \theta$. La tangente es el cociente de ambas siempre que la coordenada horizontal no sea cero. Esta perspectiva reúne las razones de un triángulo rectángulo, el movimiento circular y las gráficas periódicas en un solo modelo, en lugar de tratarlos como fórmulas inconexas.

Cómo un ángulo produce tres valores funcionales

Parte del semieje horizontal positivo y gira en sentido antihorario si el ángulo es positivo, o en sentido horario si es negativo. El punto de la circunferencia unitaria determina directamente el coseno y el seno. La tangente es la pendiente del radio que pasa por ese punto, por lo que no está definida en los múltiplos impares de 90°, donde el radio es vertical. Para un ángulo agudo de un triángulo rectángulo, esas mismas coordenadas reproducen cateto adyacente entre hipotenusa, cateto opuesto entre hipotenusa y cateto opuesto entre cateto adyacente.

El ángulo puede expresarse en grados o en radianes. Una vuelta completa son 360° o $2\pi$ radianes. El cálculo y buena parte de las matemáticas superiores utilizan radianes porque miden un ángulo como la longitud del arco dividida entre el radio. Elijas la unidad que elijas, configura la calculadora en esa unidad antes de evaluar un valor.

Explora el seno, el coseno y la tangente

Mueve el control para seguir el punto por la circunferencia unitaria y comparar los tres valores.

Ángulo

Dominios, recorridos y repetición de las gráficas

El seno y el coseno admiten cualquier ángulo real y siempre permanecen entre menos uno y uno. Ambos se repiten cada $2\pi$. El seno es una función impar: cambiar el signo del ángulo cambia el signo del resultado. El coseno es par, así que tiene el mismo valor en ángulos opuestos. La tangente admite cualquier ángulo real salvo $\frac{\pi }{2}+k\pi$, puede tomar cualquier valor real y se repite cada $\pi$.

Estas propiedades explican las gráficas. El seno corta el eje en los múltiplos enteros de $\pi$. El coseno vale uno tras una vuelta completa y menos uno tras media vuelta. La tangente corta el eje en los múltiplos enteros de $\pi$ y se aproxima a asíntotas verticales a medio camino entre ellos. Una asíntota no representa un valor muy grande de la función en el ángulo excluido. En ese punto, la función sencillamente no tiene valor.

Valores exactos a partir del ángulo de referencia y el cuadrante

Los valores conocidos de 30°, 45° y 60° proceden del triángulo equilátero y del triángulo rectángulo isósceles. Para evaluar un ángulo mayor o negativo, busca primero un ángulo coterminal entre 0° y 360°. Después identifica su ángulo de referencia, es decir, el ángulo agudo que forma con el eje horizontal. El ángulo de referencia determina el valor absoluto, mientras que el cuadrante determina el signo. El coseno es negativo en la mitad izquierda de la circunferencia, el seno es negativo por debajo del eje horizontal y la tangente es positiva cuando seno y coseno tienen el mismo signo.

Ejemplo resuelto: evaluar las tres funciones en 150°

El ángulo de 150° está en el segundo cuadrante y su ángulo de referencia es 30°. A 30°, el seno es un medio y el coseno es la raíz cuadrada de tres entre dos. En el segundo cuadrante, la coordenada vertical es positiva y la horizontal es negativa. Divide el seno entre el coseno para hallar la tangente y racionaliza el denominador si se pide una forma exacta.

El resultado también ofrece una comprobación rápida: el punto debe cumplir ${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$, y un número positivo dividido entre uno negativo debe dar una tangente negativa. Para resolver triángulos cuando se conoce un par de lado y ángulo opuestos, continúa con la ley de los senos.

Qué cambia al transformar la gráfica

En una expresión como $y=A\sin \left(B(x-C)\right)+D$, el valor absoluto de $A$ es la amplitud, $\frac{2\pi }{\left|B\right|}$ es el periodo, $C$ es el desplazamiento horizontal y $D$ marca la línea media. El coseno emplea los mismos parámetros. La tangente no tiene amplitud porque no está acotada; su periodo básico pasa a ser $\frac{\pi }{\left|B\right|}$. Estas transformaciones describen mareas, señales alternas y mecanismos giratorios, pero un ajuste periódico solo tiene sentido si el proceso estudiado se repite.