Ley de los senos: fórmula, demostración y ejemplos

La ley de los senos relaciona cada lado de un triángulo con el seno de su ángulo opuesto. Funciona con triángulos acutángulos, rectángulos y obtusángulos. Es especialmente útil cuando se conoce un par completo de lado y ángulo opuestos, como en datos ángulo-lado-ángulo o ángulo-ángulo-lado. Con dos lados y un ángulo no comprendido, también revela si la información determina cero, uno o dos triángulos.

Empareja cada lado con el ángulo situado enfrente

Usa las minúsculas $a$, $b$ y $c$ para los lados opuestos a los ángulos mayúsculos $A$, $B$ y $C$. Asociar un lado con un ángulo adyacente rompe la proporción. Antes de sustituir, dibuja el triángulo y coloca cada etiqueta. Los ángulos deben sumar 180° y el lado mayor ha de estar frente al ángulo mayor.

La razón común también equivale al doble del circunradio $R$. Esto proporciona una interpretación geométrica y una comprobación: $\frac{a}{\sin A}$, $\frac{b}{\sin B}$ y $\frac{c}{\sin C}$ deben coincidir con la precisión conservada.

Por qué la circunferencia produce la misma razón

Todo triángulo no degenerado tiene una circunferencia circunscrita que pasa por sus tres vértices. Traza un diámetro por un vértice y une su otro extremo con un segundo vértice. El ángulo inscrito que abarca un diámetro es recto. En el triángulo rectángulo resultante, el seno del ángulo inscrito es la cuerda opuesta dividida entre el diámetro $2R$. Repetir el argumento para los demás lados produce la misma razón.

La demostración también cubre un ángulo obtuso del triángulo original porque los ángulos inscritos suplementarios tienen el mismo seno. La relación exige que el triángulo no sea degenerado; tres puntos colineales no determinan del mismo modo una circunferencia de radio finito.

Ejemplo resuelto con dos ángulos y un lado

Supón que $A=42°$, $B=68°$ y $a=10$ cm. Calcula primero $C=180°-42°-68°=70°$. Utiliza después el par conocido $a,A$ para hallar los otros lados. Conserva los valores trigonométricos sin redondear hasta el último paso.

El resultado aproximado es $b=\mathrm{13,86}$ cm y $c=\mathrm{14,04}$ cm. Como $C$ es el ángulo mayor, $c$ debe ser el lado mayor, como sucede. Sustituir en las tres razones ofrece una comprobación numérica.

Los datos LLA pueden describir dos triángulos distintos

Si $A=30°$, $a=7$ y $b=10$, la ley da $\sin B=\frac{5}{7}$. El seno tiene el mismo valor positivo para un ángulo agudo y para su suplemento. Por tanto, $B$ puede medir unos 45,58° o 134,42°. Ambas opciones dejan un tercer ángulo positivo, así que los dos triángulos son válidos. En otros conjuntos de datos, la opción suplementaria puede hacer que la suma alcance o supere 180°, y entonces solo queda un triángulo.

Este es el caso ambiguo lado-lado-ángulo. Una calculadora que devuelva únicamente el valor principal del arcoseno puede omitir silenciosamente el segundo triángulo. Comprueba siempre el suplemento y la suma de los ángulos.

Elige la ley que se ajuste a los datos disponibles

Utiliza primero la ley de los senos en problemas ALA, AAL y en muchos casos LLA. Recurre a la ley de los cosenos para datos lado-ángulo-lado o tres lados conocidos, ya que esos casos no parten de un par opuesto. En un triángulo rectángulo, $\sin 90°=1$, de modo que el lado opuesto al ángulo recto es el diámetro de la circunferencia circunscrita y la fórmula se reduce de manera coherente a las razones habituales del triángulo rectángulo. Para estudiar los propios valores funcionales, consulta seno, coseno y tangente.