Twierdzenie sinusów: wzór, dowód i przykłady

Twierdzenie sinusów łączy każdy bok trójkąta z sinusem kąta leżącego naprzeciw niego. Obowiązuje dla trójkątów ostrokątnych, prostokątnych i rozwartokątnych. Jest szczególnie przydatne, gdy znamy pełną parę złożoną z boku i kąta przeciwległego, na przykład w danych kąt-bok-kąt lub kąt-kąt-bok. Przy dwóch bokach i kącie nieleżącym między nimi pokazuje również, czy dane wyznaczają zero, jeden czy dwa trójkąty.

Każdy bok trzeba połączyć z kątem naprzeciw niego

Małe litery $a$, $b$ i $c$ oznaczają boki przeciwległe do kątów $A$, $B$ i $C$. Połączenie boku z kątem przyległym psuje proporcję. Przed podstawieniem danych warto wykonać szkic i rozmieścić oznaczenia. Suma kątów musi wynosić 180°, a najdłuższy bok powinien leżeć naprzeciw największego kąta.

Wspólny iloraz jest również równy podwojonemu promieniowi okręgu opisanego $R$. Daje to interpretację geometryczną i sposób sprawdzenia: $\frac{a}{\sin A}$, $\frac{b}{\sin B}$ oraz $\frac{c}{\sin C}$ powinny zgadzać się z zachowaną dokładnością.

Dlaczego okrąg opisany daje ten sam iloraz

Przez wierzchołki każdego niezdegenerowanego trójkąta przechodzi okrąg opisany. Prowadzimy średnicę przez jeden wierzchołek i łączymy jej drugi koniec z kolejnym wierzchołkiem. Kąt wpisany oparty na średnicy jest prosty. W powstałym trójkącie prostokątnym sinus kąta wpisanego jest równy przeciwległej cięciwie podzielonej przez średnicę $2R$. Powtórzenie rozumowania dla pozostałych boków daje ten sam iloraz.

Dowód obejmuje również rozwarty kąt pierwotnego trójkąta, ponieważ kąty wpisane dopełniające się do 180° mają ten sam sinus. Trzy punkty współliniowe nie tworzą niezdegenerowanego trójkąta i nie wyznaczają w ten sposób skończonego okręgu opisanego.

Przykład z dwoma kątami i jednym bokiem

Załóżmy, że $A=42°$, $B=68°$ oraz $a=10$ cm. Najpierw wyznaczamy $C=180°-42°-68°=70°$. Następnie używamy znanej pary $a,A$, aby obliczyć pozostałe boki. Wartości funkcji trygonometrycznych zachowujemy bez zaokrągleń pośrednich.

Otrzymujemy w przybliżeniu $b=\mathrm{13,86}$ cm i $c=\mathrm{14,04}$ cm. Ponieważ $C$ jest największym kątem, $c$ powinno być najdłuższym bokiem, co zgadza się z wynikiem. Podstawienie do wszystkich trzech ilorazów zapewnia dodatkową kontrolę.

Dane bok-bok-kąt (BBK) mogą opisywać dwa trójkąty

Jeżeli $A=30°$, $a=7$ i $b=10$, otrzymujemy $\sin B=\frac{5}{7}$. Sinus ma tę samą dodatnią wartość dla kąta ostrego i kąta, który razem z nim daje 180°. Zatem $B$ może mieć około 45,58° albo 134,42°. W obu przypadkach trzeci kąt pozostaje dodatni, więc oba trójkąty są możliwe. Dla innych danych drugi wariant może zwiększyć sumę do co najmniej 180° i wtedy pozostaje tylko jedno rozwiązanie.

Jest to niejednoznaczny przypadek bok-bok-kąt. Kalkulator pokazujący wyłącznie wartość główną funkcji arcsinus może pominąć drugi trójkąt. Zawsze trzeba sprawdzić drugi kąt o tej samej wartości sinusa oraz sumę kątów.

Wybór twierdzenia zależy od danych

Twierdzenie sinusów jest dobrym pierwszym krokiem dla KBK, KKB i wielu przypadków BBK. Twierdzenie cosinusów jest naturalne dla bok-kąt-bok albo trzech znanych boków, ponieważ te dane nie zaczynają się od pary przeciwległej. W trójkącie prostokątnym $\sin 90°=1$, więc bok naprzeciw kąta prostego jest średnicą okręgu opisanego, a wzór zgadza się ze zwykłymi proporcjami. Wartości samych funkcji omawia artykuł o sinusie, cosinusie i tangensie.