Sinusrelationerne: formel, bevis og eksempler

Sinusrelationerne forbinder hver side i en trekant med sinus til den modstående vinkel. De gælder for spidsvinklede, retvinklede og stumpvinklede trekanter. Relationerne er især nyttige, når et helt modstående side-vinkel-par er kendt, som ved vinkel-side-vinkel eller vinkel-vinkel-side. Når to sider og en ikke-mellemliggende vinkel er kendt, viser de også, om oplysningerne bestemmer nul, én eller to trekanter.

Sæt hver side sammen med vinklen overfor

Brug de små bogstaver $a$, $b$ og $c$ til siderne over for de store vinkler $A$, $B$ og $C$. Hvis en side parres med en hosliggende vinkel, bliver forholdet forkert. Tegn trekanten, og placér alle betegnelser, før tallene indsættes. Vinklerne skal tilsammen være 180°, og den største side skal ligge over for den største vinkel.

Det fælles forhold er også lig med det dobbelte af den omskrevne cirkels radius $R$. Det giver både en geometrisk fortolkning og en kontrol: $\frac{a}{\sin A}$, $\frac{b}{\sin B}$ og $\frac{c}{\sin C}$ skal være ens med den valgte nøjagtighed.

Hvorfor den omskrevne cirkel giver det samme forhold

Enhver ikke-degenereret trekant har en omskreven cirkel gennem sine tre hjørner. Tegn en diameter gennem ét hjørne, og forbind diameterens andet endepunkt med et andet hjørne. En periferivinkel over en diameter er ret. I den retvinklede trekant er sinus til den indskrevne vinkel lig den modstående korde divideret med diameteren $2R$. Når argumentet gentages for de andre sider, fås det samme forhold.

Beviset dækker også en stump vinkel i den oprindelige trekant, fordi supplementvinkler som periferivinkler har samme sinus. Forholdet forudsætter en ikke-degenereret trekant; tre punkter på samme linje bestemmer ikke en endelig omskreven cirkel på samme måde.

Gennemregnet eksempel med to vinkler og én side

Antag, at $A=42°$, $B=68°$ og $a=10$ cm. Find først $C=180°-42°-68°=70°$. Brug derefter det kendte par $a,A$ til at beregne de andre sider. Behold de trigonometriske værdier uden afrunding til det sidste trin.

Resultatet er omtrent $b=\mathrm{13,86}$ cm og $c=\mathrm{14,04}$ cm. Da $C$ er den største vinkel, bør $c$ være den største side, hvilket den også er. Indsættelse i de tre forhold giver en numerisk kontrol.

Side-side-vinkel-data kan beskrive to forskellige trekanter

Hvis $A=30°$, $a=7$ og $b=10$, giver relationen $\sin B=\frac{5}{7}$. Sinus har samme positive værdi for en spids vinkel og dens supplementvinkel. Derfor kan $B$ være cirka 45,58° eller 134,42°. Begge muligheder efterlader en positiv tredje vinkel, så begge trekanter er gyldige. Ved andre data kan supplementvinklen få vinkelsummen til at nå eller overstige 180°, så kun én trekant er mulig.

Dette er det tvetydige side-side-vinkel-tilfælde. En lommeregner, der kun returnerer den primære værdi af arcsinus, kan overse den anden trekant uden at advare. Kontrollér altid supplementvinklen og vinkelsummen.

Vælg den relation, der passer til de givne oplysninger

Brug først sinusrelationerne ved vinkel-side-vinkel, vinkel-vinkel-side og mange side-side-vinkel-opgaver. Brug cosinusrelationen ved side-vinkel-side eller tre kendte sider, fordi disse tilfælde ikke starter med et modstående par. I en retvinklet trekant er $\sin 90°=1$, så siden over for den rette vinkel er diameteren i den omskrevne cirkel, og formlen reduceres konsekvent til de velkendte forhold i den retvinklede trekant. Se sinus, cosinus og tangens for selve funktionsværdierne.