Sinilause: kaava, todistus ja esimerkit

Sinilause liittää jokaisen kolmion sivun sitä vastapäätä olevan kulman siniin. Se pätee teräväkulmaisiin, suorakulmaisiin ja tylppäkulmaisiin kolmioihin. Lause on erityisen hyödyllinen, kun tunnetaan kokonainen vastakkainen sivu-kulma-pari, kuten kulma-sivu-kulma- tai kulma-kulma-sivu-tiedoissa. Kun tunnetaan kaksi sivua ja kulma, joka ei ole niiden välissä, lause paljastaa myös, määräävätkö tiedot nolla, yksi vai kaksi kolmiota.

Yhdistä jokainen sivu vastapäiseen kulmaan

Merkitse pienillä kirjaimilla $a$, $b$ ja $c$ isojen kulmien $A$, $B$ ja $C$ vastaisia sivuja. Sivun yhdistäminen viereiseen kulmaan rikkoo verrannon. Piirrä kolmio ja sijoita kaikki merkinnät ennen lukujen asettamista kaavaan. Kulmien summan on oltava 180°, ja suurimman sivun on oltava suurinta kulmaa vastapäätä.

Yhteinen suhde on myös ympäri piirretyn ympyrän säteen $R$ kaksinkertainen arvo. Se antaa geometrisen tulkinnan ja tarkistuksen: suhteiden $\frac{a}{\sin A}$, $\frac{b}{\sin B}$ ja $\frac{c}{\sin C}$ on oltava yhtä suuret säilytetyllä tarkkuudella.

Miksi ympäri piirretty ympyrä antaa saman suhteen?

Jokaisella ei-degeneroituneella kolmiolla on kaikkien kolmen kärjen kautta kulkeva ympäri piirretty ympyrä. Piirrä halkaisija yhden kärjen kautta ja yhdistä sen toinen pää toiseen kärkeen. Halkaisijan kattava kehäkulma on suora. Syntyvässä suorakulmaisessa kolmiossa kehäkulman sini on vastainen jänne jaettuna halkaisijalla $2R$. Kun sama päättely toistetaan muille sivuille, saadaan sama suhde.

Todistus kattaa myös alkuperäisen kolmion tylpän kulman, sillä suplementtikulmina esiintyvillä kehäkulmilla on sama sini. Yhteys edellyttää ei-degeneroitunutta kolmiota. Kolme samalla suoralla olevaa pistettä eivät määrää samalla tavalla äärellistä ympäri piirrettyä ympyrää.

Laskettu esimerkki kahdella kulmalla ja yhdellä sivulla

Oletetaan, että $A=42°$, $B=68°$ ja $a=10$ cm. Laske ensin $C=180°-42°-68°=70°$. Käytä sitten tunnettua paria $a,A$ muiden sivujen laskemiseen. Säilytä trigonometriset arvot pyöristämättöminä viimeiseen vaiheeseen asti.

Likimääräinen tulos on $b=\mathrm{13,86}$ cm ja $c=\mathrm{14,04}$ cm. Koska $C$ on suurin kulma, $c$:n pitäisi olla suurin sivu, ja näin myös on. Sijoittaminen kaikkiin kolmeen suhteeseen antaa numeerisen tarkistuksen.

Sivu-sivu-kulma-tiedot voivat kuvata kahta eri kolmiota

Jos $A=30°$, $a=7$ ja $b=10$, sinilause antaa $\sin B=\frac{5}{7}$. Sinillä on sama positiivinen arvo terävällä kulmalla ja sen suplementtikulmalla. Siksi $B$ voi olla noin 45,58° tai 134,42°. Molemmissa tapauksissa kolmas kulma jää positiiviseksi, joten molemmat kolmiot ovat mahdollisia. Toisilla tiedoilla suplementtivaihtoehto voi nostaa kulmien summan 180°:seen tai sen yli, jolloin jäljelle jää vain yksi kolmio.

Tämä on epäselvä sivu-sivu-kulma-tapaus. Laskin, joka palauttaa vain arkussinin pääarvon, voi jättää toisen kolmion huomaamatta. Tarkista joka kerta suplementtikulma ja kulmien summa.

Valitse annettuihin tietoihin sopiva lause

Käytä sinilausetta ensin kulma-sivu-kulma-, kulma-kulma-sivu- ja monissa sivu-sivu-kulma-tehtävissä. Käytä kosinilausetta, kun tunnetaan sivu-kulma-sivu tai kaikki kolme sivua, koska näissä tapauksissa ei aluksi tunneta vastaista paria. Suorakulmaisessa kolmiossa $\sin 90°=1$, joten suoraa kulmaa vastapäätä oleva sivu on ympäri piirretyn ympyrän halkaisija ja kaava palautuu johdonmukaisesti suorakulmaisen kolmion tuttuihin suhteisiin. Katso itse funktioiden arvot artikkelista sini, kosini ja tangentti.