Lei dos Senos

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A Lei dos Senos estabelece que em um triângulo qualquer as medidas dos lados são proporcionais aos senos ângulos opostos. Além disso, um triângulo circunscrito numa circunferência de raio r, a medida do diâmetro da circunferência é a razão de proporcionalidade.

Exemplo:

Seja o triângulo ABC de lados a, b e c, inscrito na circunferência de raio r e centro O:

Lei dos Senos

Assim, temos que as seguintes relações são válidas:

Lei dos Senos

Demonstração da Lei dos Senos

Vamos demonstrar a Lei dos Senos considerando um triângulo ABC, inscrito numa circunferência de raio r.

Desenhando uma reta a partir de B, passando pelo centro O até chegar a linha da circunferência que chamaremos de ponto D.

Desenhando outra reta de D até o ponto C, formaremos um triângulo retângulo BCD. Com ângulo reto em C.

Conforme a figura a seguir:

Demonstração da Lei dos Senos

  1. Analisando a figura acima, temos que:

    • Se BD = 2.r é diâmetro da circunferência, então podemos concluir que C = 90°. Dessa forma,

      Demonstração da Lei dos Senos

  2. Ainda analisando a figura, e de acordo com o teorema do ângulo inscrito, BAC = BDC, pois são ângulos inscrito na circunferência no mesmo arco. Logo, sen(D) = sen(A).

  3. Pelos itens 1 e 2 acima, temos que:

    Demonstração da Lei dos Senos

    Da mesma forma, podemos afirmar que:

    Demonstração da Lei dos Senos

E assim, conclui-se que:

Lei dos Senos

Essa é a chamada Lei dos Senos.

Aplicação da Lei dos Senos

A Lei dos Senos é utilizada para encontrar as medidas dos lados de um triângulo e também dos ângulos.

Exemplo:

Considere o triângulo ABC a seguir de lados a, b e c medindo 10 cm:

Aplicação da Lei dos Senos

Assim, utilizando a lei dos seno podemos estabelecer a seguinte relação:

Aplicação da Lei dos Senos

Lembre-se que a soma interna dos ângulos de um triângulo é igual a 180°.

Podemos estabelecer as medidas para a e b da seguinte forma:

Aplicação da Lei dos Senos

Portanto, as medidas de a = 5,18 e b = 7,32

Para encontrarmos as medidas dos lados de um triângulo, é necessário apenas conhecermos as medidas dos seus ângulos e apenas a medida de um de seus lados.

A Lei dos Senos no Triângulo Retângulo

Considere o triângulo retângulo ABC a seguir, reto em C.

A Lei dos Senos no Triângulo Retângulo

Agora vamos utilizar a lei dos senos para encontrar as medidas dos lados b e c do triângulo acima.

Como sabemos, com a lei dos senos nós precisamos apenas das medidas dos ângulos e conhecer apenas a medida de um lado. Isso é suficiente para encontrarmos as medidas dos lados restantes.

Dessa forma, com a aplicação da lei dos senos temos a seguinte relação:

A Lei dos Senos no Triângulo Retângulo

Agora vamos estabelecer as medias para os lados b e c da seguinte forma:

A Lei dos Senos no Triângulo Retângulo

Portanto, as medidas de b = 8 e c = 13,86

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Bons estudos! 😄





Autor

Jean Carlos Novaes by

Formado em Ciência da Computação na UFBA. Depois de ficar sete anos tentando cursar uma universidade, conseguiu entrar na UFBA prestando um dos mais concorridos vestibulares do país.
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