Lei dos Senos: Demonstração, Aplicação e Exemplos

A Lei dos Senos estabelece que em um triângulo qualquer as medidas dos lados são proporcionais aos senos ângulos opostos.

Além disso, um triângulo circunscrito numa circunferência de raio r, a medida do diâmetro da circunferência é a razão de proporcionalidade.

Exemplo:

Seja o triângulo ABC de lados a, b e c, inscrito na circunferência de raio r e centro O:

Lei dos Senos

Assim, temos que as seguintes relações são válidas:

Lei dos Senos

Índice do Artigo

Demonstração da Lei dos Senos

Vamos demonstrar a Lei dos Senos considerando um triângulo ABC, inscrito numa circunferência de raio r.

Desenhando uma reta a partir de B, passando pelo centro O até chegar a linha da circunferência que chamaremos de ponto D.

Desenhando outra reta de D até o ponto C, formaremos um triângulo retângulo BCD. Com ângulo reto em C.

Conforme a figura a seguir:

Lei dos Senos

Analisando a figura acima, temos que:

Se BD = 2.r é diâmetro da circunferência, então podemos concluir que C = 90°. Dessa forma,

Lei dos Senos

Ainda analisando a figura, e de acordo com o teorema do ângulo inscrito, BAC = BDC, pois são ângulos inscritos na circunferência no mesmo arco. Logo, sen(D) = sen(A).

Pelos itens acima, temos que:

Lei dos Senos

Da mesma forma, podemos afirmar que:

E assim, conclui-se que:

Lei dos Senos

Aplicação da Lei dos Senos

A Lei dos Senos é utilizada para encontrar as medidas dos lados de um triângulo e também dos ângulos.

Exemplo:

Considere o triângulo ABC a seguir de lados a, b e c medindo 10 cm:

Triângulo

Assim, utilizando a lei dos seno podemos estabelecer a seguinte relação:

Fórmula

Lembre-se que a soma interna dos ângulos de um triângulo é igual a 180°.

Podemos estabelecer as medidas para a e b da seguinte forma:

Fórmula

Portanto, as medidas de a = 5,18 e b = 7,32

Para encontrarmos as medidas dos lados de um triângulo, é necessário apenas conhecermos as medidas dos seus ângulos e apenas a medida de um de seus lados.

A Lei dos Senos no Triângulo Retângulo

Considere o triângulo retângulo ABC a seguir, reto em C.

Triângulo retângulo

Agora vamos utilizar a lei para encontrar as medidas dos lados b e c do triângulo acima.

Como sabemos, com a lei dos senos nós precisamos apenas das medidas dos ângulos e conhecer apenas a medida de um lado. Isso é suficiente para encontrarmos as medidas dos lados restantes.

Dessa forma, ao aplicarmos a lei temos a seguinte relação:

Lei dos Senos

Agora vamos estabelecer as medias para os lados b e c da seguinte forma:

Lei dos Senos

Portanto, as medidas de b = 8 e c = 13,86

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Authorby Jean Carlos Novaes