Sinussatz: Formel, Herleitung und Beispiele

Der Sinussatz verbindet jede Dreiecksseite mit dem Sinus ihres gegenüberliegenden Winkels. Er gilt für spitzwinklige, rechtwinklige und stumpfwinklige Dreiecke. Besonders nützlich ist er, wenn ein vollständiges Gegenüberpaar aus Seite und Winkel bekannt ist, etwa bei Winkel-Seite-Winkel- oder Winkel-Winkel-Seite-Daten. Sind zwei Seiten und ein nicht eingeschlossener Winkel gegeben, zeigt er außerdem, ob null, ein oder zwei Dreiecke zu den Angaben passen.

Jede Seite dem gegenüberliegenden Winkel zuordnen

Verwende die Kleinbuchstaben $a$, $b$ und $c$ für die Seiten gegenüber den Winkeln $A$, $B$ und $C$. Wird eine Seite mit einem anliegenden statt dem gegenüberliegenden Winkel gepaart, ist die Proportion falsch. Zeichne vor dem Einsetzen eine Skizze und trage alle Bezeichnungen ein. Die Winkel müssen zusammen 180° ergeben, und der größten Seite muss der größte Winkel gegenüberliegen.

Der gemeinsame Quotient ist außerdem gleich dem doppelten Umkreisradius $R$. Das liefert sowohl eine geometrische Deutung als auch eine Kontrolle: $\frac{a}{\sin A}$, $\frac{b}{\sin B}$ und $\frac{c}{\sin C}$ sollten bei derselben beibehaltenen Genauigkeit übereinstimmen.

Warum der Umkreis denselben Quotienten erzeugt

Jedes nicht entartete Dreieck besitzt einen Umkreis durch seine drei Ecken. Zeichne einen Durchmesser durch eine Ecke und verbinde dessen anderes Ende mit einer zweiten Ecke. Der Winkel über einem Durchmesser ist ein rechter Winkel. Im entstehenden rechtwinkligen Dreieck ist der Sinus des Umfangswinkels gleich der gegenüberliegenden Sehne geteilt durch den Durchmesser $2R$. Wiederholt man das Argument für die übrigen Seiten, erhält man stets denselben Quotienten.

Die Herleitung gilt auch, wenn der ursprüngliche Winkel stumpf ist, weil supplementäre Umfangswinkel denselben Sinus besitzen. Die Beziehung setzt ein nicht entartetes Dreieck voraus. Drei Punkte auf einer Geraden bestimmen auf diese Weise keinen endlichen Umkreis.

Rechenbeispiel mit zwei Winkeln und einer Seite

Gegeben seien $A=42°$, $B=68°$ und $a=10$ cm. Zuerst ergibt sich $C=180°-42°-68°=70°$. Verwende danach das bekannte Paar $a,A$, um die anderen Seiten zu berechnen. Behalte die trigonometrischen Werte bis zum letzten Schritt ungerundet bei.

Der gerundete Wert für $b$ beträgt 13,86 cm, für $c$ sind es 14,04 cm. Da $C$ der größte Winkel ist, muss $c$ die größte Seite sein, was hier zutrifft. Das Einsetzen in die drei Quotienten liefert eine numerische Kontrolle.

SSW-Daten können zwei verschiedene Dreiecke beschreiben

Für $A=30°$, $a=7$ und $b=10$ ergibt der Sinussatz $\sin B=\frac{5}{7}$. Der Sinus hat bei einem spitzen Winkel und bei dessen Supplement denselben positiven Wert. Daher kann $B$ ungefähr 45,58° oder 134,42° betragen. In beiden Fällen bleibt ein positiver dritter Winkel übrig, sodass beide Dreiecke gültig sind. Bei anderen Daten kann der supplementäre Winkel die Winkelsumme auf mindestens 180° bringen; dann bleibt nur ein Dreieck.

Das ist der mehrdeutige Seite-Seite-Winkel-Fall. Ein Taschenrechner, der nur den Hauptwert des Arkussinus ausgibt, kann das zweite Dreieck unbemerkt übergehen. Prüfe daher immer den Supplementwinkel und die Winkelsumme.

Den Satz passend zu den gegebenen Größen wählen

Verwende den Sinussatz zuerst für WSW, WWS und viele SSW-Aufgaben. Für Seite-Winkel-Seite-Daten oder drei bekannte Seiten eignet sich der Kosinussatz, weil dort anfangs kein Gegenüberpaar vorliegt. In einem rechtwinkligen Dreieck gilt $\sin 90°=1$. Deshalb ist die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite der Durchmesser des Umkreises, und die Formel geht widerspruchsfrei in die bekannten Verhältnisse des rechtwinkligen Dreiecks über. Die Funktionswerte selbst werden unter Sinus, Kosinus und Tangens erklärt.