Trigonometriske funktioner: sinus, cosinus og tangens

Trigonometriske funktioner omsætter en vinkel til et tal. På enhedscirklen har det punkt, som en orienteret vinkel $\theta$ fører frem til, den vandrette koordinat $\cos \theta$ og den lodrette koordinat $\sin \theta$. Tangens er forholdet mellem de to koordinater, når den vandrette koordinat ikke er nul. Denne synsvinkel samler forhold i retvinklede trekanter, cirkelbevægelse og periodiske grafer i én model i stedet for at behandle dem som formler uden forbindelse.

Sådan bliver en vinkel til tre funktionsværdier

Begynd på den positive vandrette akse, og drej mod uret for en positiv vinkel eller med uret for en negativ vinkel. Punktet på enhedscirklen bestemmer cosinus og sinus direkte. Tangens er hældningen på den radius, der går gennem punktet. Den er derfor ikke defineret ved ulige multipla af 90°, hvor radius er lodret. For en spids vinkel i en retvinklet trekant giver de samme koordinater hosliggende katete divideret med hypotenusen, modstående katete divideret med hypotenusen og modstående katete divideret med hosliggende katete.

Vinklen kan angives i grader eller radianer. En hel omdrejning er 360° eller $2\pi$ radianer. I differential- og integralregning og i det meste videregående matematik bruges radianer, fordi de måler en vinkel som buelængde divideret med radius. Uanset hvilken enhed du vælger, skal lommeregneren være indstillet til den samme enhed, før du beregner en værdi.

Undersøg sinus, cosinus og tangens

Flyt skyderen, følg punktet rundt på enhedscirklen, og sammenlign de tre værdier.

Vinkel

Definitionsmængder, værdimængder og gentagne grafer

Sinus og cosinus kan tage enhver reel vinkel som input og ligger altid mellem minus en og en. Begge gentager sig efter $2\pi$. Sinus er en ulige funktion, så et skift af vinklens fortegn skifter resultatets fortegn. Cosinus er en lige funktion og har derfor samme værdi ved modsatte vinkler. Tangens er defineret for alle reelle vinkler undtagen $\frac{\pi }{2}+k\pi$, kan antage enhver reel værdi og gentager sig efter $\pi$.

Disse egenskaber forklarer graferne. Sinus skærer nul ved heltallige multipla af $\pi$. Cosinus når en efter hele omdrejninger og minus en efter en halv omdrejning. Tangens skærer nul ved heltallige multipla af $\pi$ og nærmer sig lodrette asymptoter midt imellem dem. En asymptote betyder ikke, at funktionen har en meget stor værdi ved den udelukkede vinkel. Funktionen har slet ingen værdi dér.

Eksakte værdier findes med en referencevinkel og en kvadrant

De velkendte værdier ved 30°, 45° og 60° kommer fra den ligesidede trekant og den ligebenede retvinklede trekant. Når en større eller negativ vinkel skal vurderes, finder du først en koterminal vinkel mellem 0° og 360°. Find derefter referencevinklen, altså den spidse vinkel med den vandrette akse. Referencevinklen bestemmer talværdien, mens kvadranten bestemmer fortegnet. Cosinus er negativ i cirklens venstre halvdel, sinus er negativ under den vandrette akse, og tangens er positiv, når sinus og cosinus har samme fortegn.

Gennemregnet eksempel: de tre funktioner ved 150°

Vinklen 150° ligger i anden kvadrant og har referencevinklen 30°. Ved 30° er sinus en halv, og cosinus er kvadratroden af tre divideret med to. I anden kvadrant er den lodrette koordinat positiv og den vandrette negativ. Divider sinus med cosinus for at finde tangens, og rationaliser nævneren, hvis der kræves en eksakt form.

Resultatet giver også en hurtig kontrol: Punktet skal opfylde ${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$, og et positivt tal divideret med et negativt tal skal give en negativ tangens. Hvis en trekant skal løses ud fra et kendt par af en side og dens modstående vinkel, kan du fortsætte med sinusrelationerne.

Hvad sker der, når grafen transformeres?

I en forskrift som $y=A\sin \left(B(x-C)\right)+D$ er den absolutte værdi af $A$ amplituden, $\frac{2\pi }{\left|B\right|}$ er perioden, $C$ er den vandrette forskydning, og $D$ er midterlinjen. Cosinus bruger de samme parametre. Tangens har ingen amplitude, fordi den ikke er begrænset; dens grundperiode bliver $\frac{\pi }{\left|B\right|}$. Transformationerne kan beskrive tidevand, vekslende signaler og roterende mekanismer, men en periodisk model giver kun mening, når selve processen gentager sig.