Funções trigonométricas: seno, cosseno e tangente

As funções trigonométricas transformam um ângulo num número. No círculo trigonométrico, o ponto alcançado por um ângulo orientado $\theta$ tem coordenada horizontal $\cos \theta$ e coordenada vertical $\sin \theta$. A tangente é o quociente entre ambas sempre que a coordenada horizontal não seja zero. Esta perspetiva reúne razões num triângulo retângulo, movimento circular e gráficos periódicos num único modelo, em vez de os tratar como fórmulas sem ligação.

Como um ângulo dá origem a três valores

Parta do semieixo horizontal positivo e rode no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio para um ângulo positivo, ou no sentido dos ponteiros para um ângulo negativo. O ponto no círculo trigonométrico determina diretamente o cosseno e o seno. A tangente corresponde ao declive do raio que passa nesse ponto, pelo que não está definida nos múltiplos ímpares de 90°, onde o raio é vertical. Num triângulo retângulo e para um ângulo agudo, as mesmas coordenadas reproduzem cateto adjacente sobre hipotenusa, cateto oposto sobre hipotenusa e cateto oposto sobre cateto adjacente.

O ângulo pode ser expresso em graus ou radianos. Uma volta completa mede 360° ou $2\pi$ radianos. O cálculo e grande parte da matemática avançada usam radianos, pois estes medem um ângulo através do quociente entre o comprimento do arco e o raio. Seja qual for a unidade escolhida, confirme essa definição na calculadora antes de avaliar um valor.

Explore o seno, o cosseno e a tangente

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Ângulo

Domínios, imagens e repetição dos gráficos

O seno e o cosseno aceitam qualquer ângulo real e mantêm-se sempre entre menos um e um. Ambos se repetem ao fim de $2\pi$. O seno é uma função ímpar: mudar o sinal do ângulo muda o sinal do resultado. O cosseno é par, por isso assume o mesmo valor em ângulos opostos. A tangente aceita todos os ângulos reais, exceto $\frac{\pi }{2}+k\pi$, pode produzir qualquer número real e repete-se ao fim de $\pi$.

Estas propriedades explicam os gráficos. O seno é zero nos múltiplos inteiros de $\pi$. O cosseno atinge um nas voltas completas e menos um após meia volta. A tangente é zero nos múltiplos inteiros de $\pi$ e aproxima-se de assíntotas verticais a meio caminho entre eles. Uma assíntota não representa um valor muito grande da função no ângulo excluído. Nesse ponto, a função simplesmente não tem valor.

Valores exatos a partir do ângulo de referência e do quadrante

Os valores conhecidos de 30°, 45° e 60° resultam do triângulo equilátero e do triângulo retângulo isósceles. Para avaliar um ângulo maior ou negativo, comece por encontrar um ângulo coterminal entre 0° e 360°. Depois identifique o ângulo de referência, isto é, o ângulo agudo formado com o eixo horizontal. O ângulo de referência determina o valor absoluto; o quadrante determina o sinal. O cosseno é negativo na metade esquerda do círculo, o seno é negativo abaixo do eixo horizontal e a tangente é positiva quando seno e cosseno têm o mesmo sinal.

Exemplo resolvido: as três funções em 150°

O ângulo de 150° está no segundo quadrante e tem 30° como ângulo de referência. A 30°, o seno vale um meio e o cosseno vale a raiz quadrada de três sobre dois. No segundo quadrante, a coordenada vertical é positiva e a horizontal é negativa. Divida o seno pelo cosseno para obter a tangente e racionalize o denominador caso seja exigida uma forma exata.

O resultado permite ainda uma verificação rápida: o ponto tem de satisfazer ${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$, e um número positivo dividido por um número negativo tem de dar uma tangente negativa. Para resolver um triângulo quando conhece um lado e o ângulo oposto, prossiga para a lei dos senos.

O efeito das transformações no gráfico

Numa expressão como $y=A\sin \left(B(x-C)\right)+D$, o valor absoluto de $A$ é a amplitude, $\frac{2\pi }{\left|B\right|}$ é o período, $C$ é a translação horizontal e $D$ define a linha média. O cosseno usa os mesmos parâmetros. A tangente não tem amplitude porque não é limitada; o seu período básico passa a ser $\frac{\pi }{\left|B\right|}$. Estas transformações podem descrever marés, sinais alternados e mecanismos rotativos, mas um ajuste periódico só faz sentido quando o processo observado também se repete.