Funzioni trigonometriche: seno, coseno e tangente

Le funzioni trigonometriche associano un numero a un angolo. Sulla circonferenza goniometrica, il punto individuato dall'angolo orientato $\theta$ ha coordinata orizzontale $\cos \theta$ e coordinata verticale $\sin \theta$. La tangente è il loro quoziente quando la coordinata orizzontale è diversa da zero. Questo modello unisce i rapporti nei triangoli rettangoli, il moto circolare e i grafici periodici, senza presentarli come formule scollegate.

Dall'angolo ai tre valori trigonometrici

Si parte dal semiasse positivo delle ascisse e si ruota in senso antiorario per un angolo positivo, in senso orario per uno negativo. Il punto sulla circonferenza fornisce direttamente coseno e seno. La tangente è il coefficiente angolare della retta che contiene quel raggio, quindi non è definita per i multipli dispari di 90°, quando la retta è verticale. Per un angolo acuto di un triangolo rettangolo, le stesse coordinate restituiscono cateto adiacente su ipotenusa, cateto opposto su ipotenusa e cateto opposto su cateto adiacente.

L'angolo può essere espresso in gradi o radianti. Un giro completo misura 360° oppure $2\pi$ radianti. Nell'analisi matematica si usano soprattutto i radianti, perché misurano l'angolo come rapporto tra lunghezza dell'arco e raggio. Prima di eseguire un calcolo, bisogna sempre controllare l'unità impostata sulla calcolatrice.

Esplora seno, coseno e tangente

Sposta il cursore, segui il punto sulla circonferenza goniometrica e confronta i tre valori.

Angolo

Dominio, immagine e ripetizione dei grafici

Seno e coseno accettano ogni angolo reale e assumono soltanto valori compresi tra meno uno e uno. Entrambi si ripetono dopo $2\pi$. Il seno è dispari: cambiando il segno dell'angolo cambia anche il segno del risultato. Il coseno è pari, quindi ha lo stesso valore per angoli opposti. La tangente è definita per tutti gli angoli reali tranne $\frac{\pi }{2}+k\pi$, può assumere ogni valore reale e ha periodo $\pi$.

Queste proprietà spiegano l'aspetto dei grafici. Il seno si annulla nei multipli interi di $\pi$. Il coseno vale uno dopo ogni giro completo e meno uno dopo mezzo giro. La tangente si annulla nei multipli interi di $\pi$ e si avvicina ad asintoti verticali a metà strada tra essi. Nel punto escluso la funzione non ha un valore “molto grande”: non è proprio definita.

Angolo associato e quadrante danno il valore esatto

I valori di 30°, 45° e 60° derivano dal triangolo equilatero e dal triangolo rettangolo isoscele. Per valutare un angolo maggiore di un giro o negativo, si trova prima un angolo coterminale compreso tra 0° e 360°. Poi si individua l'angolo associato, cioè l'angolo acuto rispetto all'asse orizzontale. L'angolo associato dà il valore assoluto, il quadrante stabilisce il segno. Il coseno è negativo nella metà sinistra, il seno è negativo sotto l'asse orizzontale e la tangente è positiva quando seno e coseno hanno lo stesso segno.

Esempio svolto: le tre funzioni di 150°

L'angolo 150° si trova nel secondo quadrante e ha come angolo associato 30°. A 30° il seno vale un mezzo e il coseno vale radice di tre su due. Nel secondo quadrante la coordinata verticale è positiva e quella orizzontale è negativa. Per la tangente si divide il seno per il coseno; se serve una forma esatta, si può razionalizzare il denominatore.

Il controllo è immediato: il punto deve soddisfare ${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$, mentre un numero positivo diviso per uno negativo deve dare una tangente negativa. Per risolvere un triangolo quando si conosce una coppia lato-angolo opposto, si può proseguire con il teorema dei seni.

Ampiezza, periodo e traslazioni del grafico

In una legge come $y=A\sin \left(B(x-C)\right)+D$, il valore assoluto di $A$ è l'ampiezza, $\frac{2\pi }{\left|B\right|}$ è il periodo, $C$ rappresenta la traslazione orizzontale e $D$ la linea media. Per il coseno valgono gli stessi parametri. La tangente non ha ampiezza perché non è limitata; il suo periodo di base diventa $\frac{\pi }{\left|B\right|}$. Queste trasformazioni descrivono maree, segnali alternati e meccanismi rotanti, ma un modello periodico ha senso soltanto se il fenomeno si ripete davvero.