Funkcje trygonometryczne: sinus, cosinus i tangens

Funkcje trygonometryczne przyporządkowują kątowi liczbę. Na okręgu jednostkowym punkt wyznaczony przez kąt skierowany $\theta$ ma współrzędną poziomą $\cos \theta$ i pionową $\sin \theta$. Tangens jest ilorazem tych współrzędnych, o ile współrzędna pozioma nie jest równa zero. Takie ujęcie łączy proporcje boków trójkąta prostokątnego, ruch po okręgu i wykresy okresowe w jeden model.

Jak kąt wyznacza trzy wartości funkcji

Ruch zaczyna się na dodatniej półosi poziomej. Dodatni kąt odmierzamy przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, a ujemny zgodnie z nim. Punkt na okręgu bezpośrednio określa cosinus i sinus. Tangens jest współczynnikiem kierunkowym prostej zawierającej promień przechodzący przez ten punkt, dlatego nie istnieje dla nieparzystych wielokrotności 90°, gdy ta prosta jest pionowa. Dla kąta ostrego w trójkącie prostokątnym te same współrzędne odpowiadają ilorazom: przyprostokątna przyległa przez przeciwprostokątną, przyprostokątna przeciwległa przez przeciwprostokątną oraz przeciwległa przez przyległą.

Kąt można zapisać w stopniach lub radianach. Pełny obrót ma 360° albo $2\pi$ radianów. W analizie matematycznej najczęściej używa się radianów, ponieważ mierzą kąt jako stosunek długości łuku do promienia. Przed obliczeniem wartości trzeba sprawdzić, w jakiej jednostce pracuje kalkulator.

Zbadaj sinus, cosinus i tangens

Przesuwaj suwak, śledź punkt na okręgu jednostkowym i porównuj wszystkie trzy wartości.

Kąt

Dziedziny, zbiory wartości i powtarzalność wykresów

Sinus i cosinus przyjmują każdy rzeczywisty kąt, a ich wartości mieszczą się od minus jeden do jeden. Obie funkcje powtarzają się po $2\pi$. Sinus jest nieparzysty, więc zmiana znaku kąta zmienia znak wyniku. Cosinus jest parzysty i ma tę samą wartość dla kątów przeciwnych. Tangens jest określony dla wszystkich kątów rzeczywistych poza $\frac{\pi }{2}+k\pi$, przyjmuje wszystkie wartości rzeczywiste i powtarza się po $\pi$.

Te własności tłumaczą kształt wykresów. Sinus przecina oś poziomą w całkowitych wielokrotnościach $\pi$. Cosinus osiąga jeden po pełnych obrotach, a minus jeden po półobrocie. Tangens zeruje się w całkowitych wielokrotnościach $\pi$ i zbliża się do asymptot pionowych między nimi. W wyłączonym kącie funkcja nie ma „bardzo dużej” wartości, lecz nie ma wartości wcale.

Kąt odniesienia i ćwiartka ustalają znak

Znane wartości dla 30°, 45° i 60° wynikają z trójkąta równobocznego oraz równoramiennego trójkąta prostokątnego. Dla kąta większego od pełnego obrotu lub ujemnego najpierw znajdujemy kąt z przedziału od 0° do 360° o tym samym ramieniu końcowym. Następnie wyznaczamy ostry kąt odniesienia względem osi poziomej. Kąt odniesienia daje wartość bezwzględną, a ćwiartka określa znak. Cosinus jest ujemny po lewej stronie okręgu, sinus poniżej osi poziomej, a tangens dodatni, gdy sinus i cosinus mają ten sam znak.

Przykład: trzy funkcje dla kąta 150°

Kąt 150° leży w drugiej ćwiartce, a jego kąt odniesienia ma 30°. Dla 30° sinus jest równy jednej drugiej, a cosinus pierwiastkowi z trzech przez dwa. W drugiej ćwiartce współrzędna pionowa jest dodatnia, natomiast pozioma ujemna. Tangens otrzymujemy przez podzielenie sinusa przez cosinus, a w wyniku dokładnym można usunąć niewymierność z mianownika.

Wynik można szybko sprawdzić: punkt powinien spełniać ${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$, a liczba dodatnia podzielona przez ujemną musi dać ujemny tangens. Gdy w trójkącie znamy parę złożoną z boku i kąta leżącego naprzeciw niego, pomocne jest twierdzenie sinusów.

Amplituda, okres i przesunięcia wykresu

W zapisie $y=A\sin \left(B(x-C)\right)+D$ wartość bezwzględna $A$ jest amplitudą, $\frac{2\pi }{\left|B\right|}$ okresem, $C$ przesunięciem poziomym, a $D$ położeniem linii środkowej. Dla cosinusa parametry znaczą to samo. Tangens nie ma amplitudy, ponieważ nie jest ograniczony; jego podstawowy okres zmienia się na $\frac{\pi }{\left|B\right|}$. Takie przekształcenia opisują pływy, sygnały przemienne i ruch obrotowy, ale model okresowy ma sens tylko wtedy, gdy samo zjawisko rzeczywiście się powtarza.