Funções Trigonométricas

> Funções Trigonométricas

As funções trigonométricas são funções angulares obtidas através do auxílio do círculo trigonométrico.

Destacamos as principais funções trigonométricas:

  • Função Seno;
  • Função Cosseno;
  • Função Tangente.

Considerando um número real x qualquer e um ponto P do círculo trigonométrico, associamos esse ponto a um único valor para as funções trigonométricas seno e cosseno, chamaremos de sen(x) e cos(x).

Círculo Trigonométrico em Graus e Radianos

Esse ponto P mostrado acima pode ser qualquer um dos valores do círculo trigonométrico em graus ou radiano.

Círculo Trigonométrico em Graus e Radianos

Função Trigonométrica Seno

A função seno é uma função periódica que possui imagem dentro do intervalo [-1, 1], isto é, -1 ≤ sen(x) ≤ 1, onde x é um número real.

Domínio da Função Seno

O domínio da função seno é o conjunto dos números reais, ou seja, sen(x) é definido para qualquer x real, então o domínio de f(x) = sen(x) é o conjunto R. Logo: D = R

Imagem da Função Seno

A função sen(x) assume o valor máximo igual a 1, isso ocorre quando o valor de x representa um arco com primeira determinação π/2. E o valor mínimo igual a -1, quando x representa um arco com primeira determinação 3π/2.

Imagem da Função Seno

Então, o conjunto imagem para a função f(x) = sen(x) é o intervalo [-1, 1], assim: Im = [-1, 1]

Arcos Notáveis da Função Seno

Os arcos notáveis são valores, em radianos, para os ângulos , 30°, 45°, 60°, 90°, 180°, 270° e 360°.

Então, assumindo que x seja um dos valores notáveis acima, temos a seguinte tabela com os valores em radianos para os ângulos em graus e o seno para o respetivo ângulo.

xsen(x)
00
π/612
π/4√2/2
π/3√3/2
π/21
π0
3π/2-1
0

A partir dessa tabela podemos construir o gráfico da função seno.

Gráfico da Função Seno

Vamos construir o gráfico da função seno colocando os valores notáveis no plano cartesiano. O comportamento da função seno é uma variação entre -1 e 1, por esse motivo a função seno é chamada de função periódica.

Gráfico da Função Seno

Período da Função Seno

O período é a curva do gráfico no intervalo 0 a , e é chamado de senoide. Então o período da função seno é .

Paridade da Função Seno

A paridade da função seno é dada por sen(-x) = - sen(x). Assim, f(x) = sen(x) é ímpar.

Sinal da Função Seno

No círculo trigonométrico a função seno tem sinal positivo nos quadrantes I e II e sinal negativo nos quadrantes III e IV. Considerando uma volta completa no ciclo.

Sinal da Função Seno

Pelo gráfico podemos ver quando a função seno assume valores negativos, positivos e zero.

Sinal da Função Seno

Função Trigonométrica Cosseno

A função cosseno também é uma função periódica que possui imagem no intervalo [-1, 1], isto é, para um x real -1 ≤ cos(x) ≤ 1.

Domínio da Função Cosseno

O domínio da função cosseno é o conjunto dos números reais, isto é, cos(x) é definido para qualquer x real, então o domínio de f(x) = cos(x) é o conjunto R. Assim: D = R

Imagem da Função Cosseno

A função cos(x) assume valor máximo igual a 1, ocorre quando o valor de x representa um arco com primeira determinação 0. E o valor mínimo igual a -1, quando x representa um arco com primeira determinação π.

Imagem da Função Cosseno

Assim, o conjunto imagem para f(x) = cos(x) é o intervalo [-1, 1]. Logo: Im = [-1, 1]

Arcos Notáveis da Função Cosseno

Os arcos notáveis são valores, em radianos, para os ângulos , 30°, 45°, 60°, 90°, 180°, 270° e 360°.

xcos(x)
01
π/6√3/2
π/4√2/2
π/312
π/20
π-1
3π/20
1

Esses valores nos auxiliará na construção do gráfico da função cosseno.

Gráfico da Função Cosseno

Usando os valores dos arcos notáveis acima vamos construir o gráfico da função cosseno no plano cartesiano. A função cosseno é uma variação entre -1 e 1. Também é uma função periódica.

Gráfico da Função Seno

Período da Função Cosseno

O período é a curva do gráfico no intervalo 0 a , e é chamado de cossenoide. Então, o período da função cosseno é .

Paridade da Função Cosseno

A paridade da função cosseno é dada por cos(-x) = cos(x). Assim, f(x) = cos(x) é par.

Sinal da Função Cosseno

No círculo trigonométrico a função cosseno tem sinal positivo nos quadrantes I e IV e negativo nos quadrantes II e III. Considerando uma volta completa no ciclo.

Sinal da Função Seno

Pelo gráfico podemos ver quando a função cosseno assume valores negativos, positivos e zero.

Sinal da Função Seno

Função Trigonométrica Tangente

A função tangente para um número real x é a razão entre o seno e o cosseno desse número. É uma função ilimitada, ou seja, não é limitada por um intervalo como as funções seno e cosseno, mas é periódica.

Domínio da Função Tangente

A função tangente existe, se, e somente se, o cos(x) ≠ 0, então definimos o domínio da função f(x) = tan(x) como:

D = {x ∈ R | x ≠ π/2 + kπ, k ∈ Z}

Imagem da Função Tangente

A tangente de um número real x pode assumir qualquer valor, já que a função tangente é ilimitada. Dessa forma, a imagem da função tangente é:

Im = ]-∞, ∞[

Ou seja, pode assumir infinitos valores negativos ou positivos.

Arcos Notáveis da Função Tangente

Os arcos notáveis são valores, em radianos, para os ângulos , 30°, 45°, 60°, 90°, 180°, 270° e 360°.

xtan(x)
00
π/6√3/2
π/41
π/3√3
π/2
π0
3π/2
0

Este símbolo () significa não existe.

Esses valores nos auxiliará na construção do gráfico da função tangente.

Gráfico da Função Tangente

Com os valores notáveis para a função tangente em mãos, vamos construir o gráfico. A função tangente é ilimitada, isto é, não está dentro de um intervalo. É uma função periódica, ou seja, ocorre em determinados períodos.

Gráfico da Função Tangente

Período da Função Tangente

O período da função tangente é π.

Paridade da Função Tangente

A paridade da função tangente é dada por tan(-x) = - tan(x). Assim, f(x) = tan(x) é ímpar.

Sinal da Função Tangente

No círculo trigonométricoa função tangente tem sinal positivo nos quadrantes I e III e negativo nos quadrantes II e IV. Considerando uma volta completa no ciclo.

Sinal da Função Seno

Pelo gráfico podemos ver quando a função tangente assume valores negativos, positivos e zero.

Sinal da Função Seno

Curta, favorite e compartilhe! 😉

Bons estudos! 😄






Autor

Jean Carlos Novaes by

Formado em Ciência da Computação na UFBA. Depois de ficar sete anos tentando cursar uma universidade, conseguiu entrar na UFBA prestando um dos mais concorridos vestibulares do país.
LinkedIn


Veja também



comments powered by Disqus