Trigonometria

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Trigonometria é a área da matemática que estuda as relações envolvendo os lados de um triângulo retângulo, um polígono que possui três ângulos. A origem do nome vem do grego que refere-se a medidas de três ângulos.

A partir dos lados do triângulo é que encontramos as razões seno, cosseno e tangente. Na Geometria também existe outras abordagens que utilizam a trigonometria, como nos estudos das esferas.

Trigonometria no triângulo retângulo

No triângulo retângulo, os ângulos notáveis (30º, 45º e 60º) possuem valores que são constantes e são representados pelas relações seno, cosseno e tangente.

Funções trigonométricas

As funções trigonométricas, seno, cosseno e tangente, são as relações no triângulos retângulo (triângulo com um angulo que mede 90°) das razões entre os lados do triângulo em função do ângulo. Podemos encontrar essas funções através dos catetos oposto e adjacente e a hipotenusa.

Funçoes trigonométricas

Cateto oposto

O cateto oposto é o que fica no lado oposto ao ângulo referência (θ).

Cateto adjacente

O cateto adjacente é o que está no lado (adjacente) do ângulo de referência (θ).

Hipotenusa

A hipotenusa é o lado mais longo do triângulo, oposto ao ângulo reto.

Seno (sen)

O seno é dado pela razão do cateto oposto sobre a hipotenusa.

Trigonometria: função seno

Cosseno (cos)

O cosseno é dado pela razão entre o cateto adjacente sobre a hipotenusa.

Trigonometria: função cosseno

Tangente (tan ou tg)

A tangente é a razão dada pelo cateto oposto sobre a cateto adjacente.

Trigonometria: função tangente

A partir das funções trigonométricas acima, podemos encontrar outras funções trigonométricas: cotangente, cossecante e secante.

Cotangente (cot)

A cotangente é o inverso da tangente, dado pelo cateto adjacente sobre o cateto oposto.

Trigonometria: função cotangente

Cossecante (csc)

A cossecante é o inverso do seno, ou seja, a hipotenusa sobre o cateto oposto.

Trigonometria: função cossecante

Secante (sec)

A secante é a razão dada pela hipotenusa sobre o cateto adjacente.

Trigonometria: função secante

Círculo trigonométrico

O círculo trigonométrico ou ciclo trigonométrico é a disposição no plano cartesiano para facilitar a visualização das funções trigonométricas durante o estudo da trigonometria. Dessa forma será possível visualizar graficamente durante o estudo dessas funções e poderá entender a disposição do seno, cosseno, tangente, cotangente, cossecante e secante. Veja abaixo:

Trigonometria: círculo trigonométrico

Teorema de Pitágoras

O Teorema de Pitágoras define que a relação em um triângulo ABC, com ângulo reto em C, vale a seguinte relação: (AB)² = (AC)² + (BC)². Em outras palavras, Pitágoras descobriu que o quadrado da medida da hipotenusa é igual a soma dos quadrados das medidas dos catetos.

Considere o triângulo retângulo:

Teorema de Pitágoras

Vamos chamar os lados AB de a, BC de b e AC de c, então:

a² = b² + c²

Onde a é a hipotenusa, b é cateto oposto e c o cateto adjacente.

Geometria Euclidiana

Euclides definiu alguns conceitos que são usados no estudo da trigonometria aplicada no triângulo.

Lei dos Senos

A Lei dos Senos serve para relacionar o seno do ângulo de um triângulo qualquer com o lado oposto a este ângulo.

Exemplo:

Considere o triângulo ABC abaixo, inscrito na circunferência, com lados a, b e c:

Trigonometria: lei dos senos

A lei dos senos é dada pela seguinte fórmula:

Trigonometria: fórmula da lei dos senos

A fórmula diz que a razão entre um lado qualquer do triângulo e o seno do ângulo oposto ao lado, é igual a 2 vezes o tamanho do raio da circunferência.

Lei dos Cossenos

A Lei dos Cossenos diz que podemos encontrar a medida de um lado somando os lados opostos a ele e subtraindo pelo dobro do produto entre os lados opostos e o cosseno do ângulo, também, dos lados opostos.

Exemplo:

Considere o triângulo ABC abaixo, inscrito na circunferência, com lados a, b e c:

Trigonometria: lei dos cossenos

A lei dos cossenos é dada pela seguinte fórmula:

Trigonometria: fórmula da lei dos cossenos

A fórmula diz que podemos encontrar a medida de um lado ao quadrado, pela soma dos lados opostos também ao quadrado, subtraindo da soma dos lados opostos e o produto entre a medidas dos lados e o cosseno do ângulo oposto ao lado que queremos encontrar.

Lei das Tangentes

A Lei das Tangentes diz que é equivalente os comprimentos de um triângulo não isósceles com a tangente dos ângulos opostos a esses lados.

Exemplo:

Considere o triângulo ABC abaixo, inscrito na circunferência, com lados a, b e c:

Trigonometria: lei das tangentes

A lei dos tangentes é dada pela seguinte fórmula:

Trigonometria: fórmula da lei das tangentes

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Bons estudos! :smiles:

Leia mais…

Razão e proporção

Fração

Relações trigonométricas

Tabela trigonométrica

Triângulo






Autor

Jean Carlos Novaes by

Formado em Ciência da Computação na UFBA. Depois de ficar sete anos tentando cursar uma universidade, conseguiu entrar na UFBA prestando um dos mais concorridos vestibulares do país.
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