Trigonometria: Fórmulas das Funções

Trigonometria é a área da matemática que estuda as relações envolvendo os lados de um triângulo retângulo, que um polígono que possui três ângulos. A origem do nome vem do grego que refere-se a medidas de três ângulos.

A partir dos lados do triângulo é que encontramos as razões seno, cosseno e tangente. Na Geometria também existe outras abordagens que utilizam a trigonometria, como nos estudos das esferas.

Trigonometria no triângulo retângulo

No triângulo retângulo, os ângulos notáveis (30º, 45º e 60º) possuem valores que são constantes e são representados pelas relações seno, cosseno e tangente.

Funções trigonométricas

As funções trigonométricas, seno, cosseno e tangente, são as relações no triângulos retângulo (triângulo com um angulo que mede 90°) das razões entre os lados do triângulo em função do ângulo. Podemos encontrar essas funções através dos catetos, oposto e adjacente e da hipotenusa.

Cateto oposto

O cateto oposto é o que fica no lado oposto ao ângulo referência (θ).

Cateto adjacente

O cateto adjacente é o que está ao lado (adjacente) do ângulo de referência (θ).

Hipotenusa

A hipotenusa é o lado mais longo do triângulo, oposto ao ângulo reto.

Seno (sen)

O seno é dado pela razão do cateto oposto sobre a hipotenusa.

Cosseno (cos)

O cosseno é dado pela razão entre o cateto adjacente sobre a hipotenusa.

Tangente (tan ou tg)

A tangente é a razão dada pelo cateto oposto sobre a cateto adjacente.

A partir das funções trigonométricas acima, podemos encontrar outras funções trigonométricas: cotangente, cossecante e secante.

Cotangente (cot)

A cotangente é o inverso da tangente, dado pelo cateto adjacente sobre o cateto oposto, que é o mesmo que o cosseno sobre o seno.

Cossecante (csc)

A cossecante é o inverso do seno, ou seja, a hipotenusa sobre o cateto oposto.

Secante (sec)

A secante é a razão dada pela hipotenusa sobre o cateto adjacente.

Círculo trigonométrico

O círculo trigonométrico ou ciclo trigonométrico é a disposição no plano cartesiano para facilitar a visualização das funções trigonométricas durante o estudo da trigonometria. Dessa forma, é possível visualizar graficamente durante o estudo dessas funções e poderá entender a disposição do seno, cosseno, tangente, cotangente, cossecante e secante. Veja abaixo:

Teorema de Pitágoras

O Teorema de Pitágoras define que a relação em um triângulo ABC, com ângulo reto em C, vale a seguinte relação: (AB)² = (AC)² + (BC)². Em outras palavras, Pitágoras descobriu que o quadrado da medida da hipotenusa é igual a soma dos quadrados das medidas dos catetos.

Considere o triângulo retângulo:

Seno, Cosseno e Tangente, Teorema de Pitágoras

Vamos chamar os lados AB de a, BC de b e AC de c, então:

a² = b² + c²

Onde

a é a hipotenusa;
b é cateto oposto;
c o cateto adjacente.

Geometria Euclidiana

Euclides definiu alguns conceitos que são usados no estudo da trigonometria aplicada no triângulo.

Lei dos Senos

A Lei dos Senos serve para relacionar o seno do ângulo de um triângulo qualquer com o lado oposto a este ângulo.

Exemplo:

Considere o triângulo ABC abaixo, inscrito na circunferência, com lados a, b e c:

A lei dos senos é dada pela seguinte fórmula:

A fórmula diz que a razão entre um lado qualquer do triângulo e o seno do ângulo oposto a este lado, é igual a 2 vezes o tamanho do raio da circunferência.

Lei dos Cossenos

A Lei dos Cossenos diz que podemos encontrar a medida de um lado de um triângulo, somando os lados opostos a ele e subtraindo pelo dobro do produto entre os lados opostos e o cosseno do ângulo, também, dos lados opostos.

Exemplo:

Considere o triângulo ABC abaixo, com lados a, b e c:

A lei dos cossenos é dada pela seguinte fórmula:

A fórmula diz que podemos encontrar a medida elevada ao quadrado de um lado do triângulo, realizando a soma dos lados opostos também ao quadrado. Após isso, subtraímos desta soma dos lados opostos ao quadrado, o produto entre as medidas dos lados opostos e o cosseno do ângulo oposto ao lado que queremos encontrar multiplicado por 2.