Lei dos Cossenos

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A Lei dos Cossenos pode ser usada no calculo da medida de um lado ou de um ângulo, desde que conheçamos as outras medidas.

Índice do Artigo

O Teorema e as Fórmulas da Lei dos Cossenos

A Lei dos Cossenos é uma generalização do Teorema de Pitágoras. O teorema da Lei do Cossenos diz que:

Em todo triângulo, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros lados, menos o dobro do produto dessas medidas pelo cosseno do ângulo que eles formam.

Exemplo:

Seja o triângulo ABC a seguir:

Lei dos Cossenos
Triângulo

Assim, pela lei dos cossenos temos as seguintes fórmulas:

  • a² = b² + c² – 2 . b . c . cos(A)
  • b² = a² + c² – 2 . a . c . cos(B)
  • c² = a² + b² – 2 . a . b . cos(C)

Demonstração da Lei dos Cossenos

Considere o triângulo ABC da figura com altura h em relação ao lado AC do triângulo.

Demonstração da Lei dos Cossenos
Demonstração da Lei dos Cossenos

No triângulo retângulo ABD, temos o seguinte:

A base do triângulo, CD, temos que: CD = b – AD ⇔ CD = b – c . cos(A)

Com base nos itens anteriores, podemos aplicar o Teorema de Pitágoras: h² = c² – AD² = a² – CD².

Substituindo: CD = b – c . cos(A) em a² – CD² temos: a² – (b – c . cos(A))².

Substituindo: AD = c . cos A em c² – AD² temos: c² – (c . cos(A))².

Resolvendo, temos:

a² – (b – c . cos(A))² = c² – (c . cos(A))² ⇔ a² – b² + 2 . b . c . cos(A) – c² . cos²(A) = c² – c² . cos²(A) ⇔ a² = b² + c² – 2 . b . c . cos(A)

Analogamente, para a altura do triângulo em relação aos outros lados, temos:

  • b² = a² + c² – 2 . a . c . cos(B)
  • c² = a² + b² – 2 . a . b . cos(C)

A Lei dos Cossenos no Triângulo Retângulo

A Lei dos Cossenos pode ser aplicada em qualquer triângulo retângulo.

Relembrando, um triângulo retângulo possui um ângulo reto que mede 90°. E vamos aplicar a lei dos cossenos no lado oposto deste ângulo. Assim:

a² = b² + c² – 2 . b . c . cos(90)

Sabemos que o cosseno que 90° é 0. Dessa forma, a expressão acima fica assim:

a² = b² + c²

Essa expressão é o Teorema de Pitágoras. Então, podemos dizer que para o triângulo retângulo, quando queremos descobrir a medida de um lado, é melhor utilizar o Teorema de Pitágoras.

A Lei dos Cossenos, então, poderia ser utilizada para encontrar a medida de um ângulo quando conhecemos as medidas dos lados.

Exercícios Resolvidos

  1. Seja um triângulo com dois lados medindo 15 cm e 10 cm, onde o ângulo entre esses lados mede 130°. Encontre a medida do terceiro lado.

    Resolução:

    Vamos utilizar a Lei dos Cossenos para encontrar a medida do terceiro lado desse triângulo.

    Considerando as seguinte medidas:

    • b = 15 cm
    • c = 10 cm
    • θ = 130° = cos(130) = -0,6

      Substituindo na fórmula seguinte, pois queremos encontrar a medida de a:

      a² = b² + c² – 2 . b . c . cos(130)

      a² = 15² + 10² – 2 . 15 . 10 . (-0,6)

      a² = 225 + 100 + 180

      a² = 505

      a = √505

      a ≈ 22,5

      Dessa forma, a medida do lado a é aproximadamente 22,5 cm. Então, a é o lado correspondente a hipotenusa.

  2. Seja um triângulo com dois lados medindo 10 cm e 5 cm e o ângulo ABC medindo 30°. Encontre a medida do terceiro lado e a media do ângulo ACB.

    Resolução:
    Considerando as seguinte medidas:

    • a = 10 cm
    • c = 5 cm
    • ABC = θ = 30° = cos(30) = 0,87

      Vamos encontra a medida de b:

      b² = a² + c² – 2 . a . c . cos(B)

      b² = 10² + 5² – 2 . 10 . 5 . cos(30)

      b² = 100 + 25 – 2 . 10 . 5 . 0,87

      b² = 125 – 87

      b² = 38

      b = √38

      b ≈ 6,16

      Assim, a medida do lado b é aproximadamente 6,16 cm.

      Vamos determinar a medida do ângulo ACB:

      c² = a² + b² – 2 . a . b . cos(C)

      5² = 10² + (6,16)² – 2 . 10 . 6,16 . cos(C)

      25 = 100 + 37,95 – 123,2 . cos(C)

      25 – 100 – 37,95 = – 123,2 . cos(C)

      -112,95 = – 123,2 . cos(C)

      -112,95 / – 123,2 = cos(C)

      cos(C) = 0,92

      O cosseno de 23° é 0,92, dessa forma o ângulo ACB mede 23°.


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