Lei dos Cossenos

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A Lei dos Cossenos pode ser usada no calculo da medida de um lado ou de um ângulo, desde que conheçamos as outras medidas.

O Teorema e as Fórmulas da Lei dos Cossenos

A Lei dos Cossenos é uma generalização do Teorema de Pitágoras. O teorema da Lei do Cossenos diz que:

Em todo triângulo, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros lados, menos o dobro do produto dessas medidas pelo cosseno do ângulo que eles formam.

Exemplo:

Seja o triângulo ABC a seguir:

Lei dos Cossenos

Assim, pela lei dos cossenos temos as seguintes fórmulas:

  • a² = b² + c² – 2 . b . c . cos(A)
  • b² = a² + c² – 2 . a . c . cos(B)
  • c² = a² + b² – 2 . a . b . cos(C)

Demonstração da Lei dos Cossenos

Considere o triângulo ABC da figura com altura h em relação ao lado AC do triângulo.

Demonstração da Lei dos Cossenos
  1. No triângulo retângulo ABD, temos o seguinte:
    Demonstração da Lei dos Cossenos
  2. A base do triângulo, CD, temos que: CD = b - AD ⇔ CD = b - c . cos(A)
  3. Com base nos itens anteriores, podemos aplicar o Teorema de Pitágoras: h² = c² - AD² = a² - CD².

    1. Substituindo: CD = b - c . cos(A) em a² - CD² temos: a² – (b – c . cos(A))².
    2. Substituindo: AD = c . cos A em c² - AD² temos: c² – (c . cos(A))².
    3. Resolvendo, temos:

      a² – (b – c . cos(A))² = c² – (c . cos(A))² ⇔ a² – b² + 2 . b . c . cos(A) – c² . cos²(A) = c² – c² . cos²(A) ⇔ a² = b² + c² – 2 . b . c . cos(A)

  4. Analogamente, para a altura do triângulo em relação aos outros lados, temos:

  • b² = a² + c² – 2 . a . c . cos(B)
  • c² = a² + b² – 2 . a . b . cos(C)

A Lei dos Cossenos no Triângulo Retângulo

A Lei dos Cossenos pode ser aplicada em qualquer triângulo retângulo.

Relembrando, um triângulo retângulo possui um ângulo reto que mede 90°. E vamos aplicar a lei dos cossenos no lado oposto deste ângulo. Assim:

a² = b² + c² - 2 . b . c . cos(90)

Sabemos que o cosseno que 90° é 0. Dessa forma, a expressão acima fica assim:

a² = b² + c²

Essa expressão é o Teorema de Pitágoras. Então, podemos dizer que para o triângulo retângulo, quando queremos descobrir a medida de um lado, é melhor utilizar o Teorema de Pitágoras.

A Lei dos Cossenos, então, poderia ser utilizada para encontrar a medida de um ângulo quando conhecemos as medidas dos lados.

Exercícios Resolvidos

  1. Seja um triângulo com dois lados medindo 15 cm e 10 cm, onde o ângulo entre esses lados mede 130°. Encontre a medida do terceiro lado.

    Resolução:

    Vamos utilizar a Lei dos Cossenos para encontrar a medida do terceiro lado desse triângulo.

    Considerando as seguinte medidas:

    • b = 15 cm
    • c = 10 cm
    • θ = 130° = cos(130) = -0,6

    Substituindo na fórmula seguinte, pois queremos encontrar a medida de a:

    a² = b² + c² - 2 . b . c . cos(130)

    a² = 15² + 10² - 2 . 15 . 10 . (-0,6)

    a² = 225 + 100 + 180

    a² = 505

    a = √505

    a ≈ 22,5

    Dessa forma, a medida do lado a é aproximadamente 22,5 cm. Então, a é o lado correspondente a hipotenusa.

  2. Seja um triângulo com dois lados medindo 10 cm e 5 cm e o ângulo ABC medindo 30°. Encontre a medida do terceiro lado e a media do ângulo ACB.

    Resolução: Considerando as seguinte medidas:

    • a = 10 cm
    • c = 5 cm
    • ABC = θ = 30° = cos(30) = 0,87

    Vamos encontra a medida de b:

    b² = a² + c² – 2 . a . c . cos(B)

    b² = 10² + 5² – 2 . 10 . 5 . cos(30)

    b² = 100 + 25 – 2 . 10 . 5 . 0,87

    b² = 125 – 87

    b² = 38

    b = √38

    b ≈ 6,16

    Assim, a medida do lado b é aproximadamente 6,16 cm.

    Vamos determinar a medida do ângulo ACB:

    c² = a² + b² – 2 . a . b . cos(C)

    5² = 10² + (6,16)² – 2 . 10 . 6,16 . cos(C)

    25 = 100 + 37,95 – 123,2 . cos(C)

    25 - 100 - 37,95 = - 123,2 . cos(C)

    -112,95 = - 123,2 . cos(C)

    -112,95 / - 123,2 = cos(C)

    cos(C) = 0,92

    O cosseno de 23° é 0,92, dessa forma o ângulo ACB mede 23°.

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Bons estudos! 😄






Autor

Jean Carlos Novaes by

Formado em Ciência da Computação na UFBA. Depois de ficar sete anos tentando cursar uma universidade, conseguiu entrar na UFBA prestando um dos mais concorridos vestibulares do país.
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