Círculo Trigonométrico

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O círculo trigonométrico é uma circunferência com um raio unitário. Nessa circunferência fixamos um ponto que chamaremos de A, onde esse ponto será a origem dos arcos e adotaremos o sentido anti-horário como positivo.

Quadrantes do Círculo Trigonométrico

O círculo trigonométrico é dividido em 4 partes, chamadas de quadrantes:

Quadrantes do Círculo Trigonométrico

São eles:

  • I: primeiro quadrante 0°;
  • II: segundo quadrante 90°;
  • III: terceiro quadrante 180°;
  • IV: quarto quadrante 270°;
  • O: centro do círculo.

Arco e Circunferência

Em uma circunferência, dois pontos A e B dividem-na em duas partes. Essa divisão chamamos de arcos, sendo A e B as extremidades desse arco que simbolizaremos da seguinte maneira:

Arco e Circunferência

A parte em vermelho, entre A e B, é o que chamamos de arco.

Ângulo Central

Considere a circunferência C abaixo. Chamamos de ângulo central em C, um ângulo coplanar, cujo vértice é o centro de C, esse ângulo é denominado o ângulo central relativo a C.

Ângulo Central

A parte em vermelho, entre os pontos A e B, é o arco da circunferência contido num ângulo central, e é chamado de o arco correspondente a esse ângulo.

Medidas de Ângulos e Arcos

Podemos medir ângulos e arcos de duas maneiras distintas: em graus e em radianos.

Medidas em Graus

Uma circunferência é dividida em 360 partes iguais entre si, cada uma dessas partes corresponde a um arco de 1º.

Um arco de 1º, dividido em 60 partes iguais entre si, cada uma dessas partes (arcos) corresponde a um minuto (1’).

Da mesma maneira, se dividirmos um arco de 1 minuto em 60 partes iguais entre si, cada uma dessas partes mede um segundo (1”).

Portanto, 1° = 60’ e 1’ = 60”

Um arco de circunferência com medidas a graus, b minutos e c segundos, então a°b’c”.

Medidas em Radianos

A media de um arco, em radiano, é a razão entre o comprimento do arco e o raio da circunferência na qual o arco está determinando. Radiano é simbolizado por rad.

Exemplo:

Seja a medida de um ângulo α, em radianos, cujo arco tem comprimento l que estão contidos numa circunferência com raio r, então:

Medidas em Radiano

Ou seja, a media do ângulo α é o comprimento do arco definido como l sobre o comprimento do raio r.

As medidas de arcos em um circunferência em graus e radianos são diretamente proporcionais, dessa forma podemos converter uma media em outra através de uma regra de três simples.

Medidas em Radiano

Logo, se quisermos converter uma medida em graus para radianos, por exemplo, devemos proceder da seguinte forma:

Graus          Radianos
a ——————– α
180 —————— π

Onde:

  • α é a medida do ângulo em radianos;
  • a é a medida do ângulo em graus;

Para isso, deve-se utilizar a seguinte fórmula:

Medidas em Radiano

A conversão é feita multiplicando em cruz.

Arco Orientado

Nas circunferências em trigonometria é adotado o percurso no sentido anti-horário como positivo e o sentido horário como negativo.

Arco Orientado

Exemplos:

Arco orientado de A a B com centro O e medidas π/2 ou 90°.

Arco Orientado

Arco orientado de B a A com centro O e medidas -π/2 ou -90°.

Arco Orientado

Círculo Trigonométrico

Toda circunferência orientada, com centro O e raio unitário, em que podemos escolher um ponto de origem para os arcos, é chamada de circunferência trigonométrica ou círculo trigonométrico.

Os arcos em um círculo trigonométrico tem as mesmas medidas absolutas α igual ao comprimento l, pois α = l/r e r = 1.

Como construir um Círculo Trigonométrico?

Para construir um círculo trigonométrico precisamos escolher o sentido anti-horário ou horário, devemos seguir os passos:

  1. Sentido Anti-Horário: escolha um ponto A, inicial, percorrendo no sentido anti-horário, um arco de comprimento π/5, assim obtemos um arco de π/5.

    Como construir um Círculo Trigonométrico?
  2. Sentido Horário: escolha um ponto A, inicial, percorrendo no sentido horário, obtemos um arco de comprimento 2, assim teremos um arco -2.

    Como construir um Círculo Trigonométrico?

Seguindo esses passos, chegaremos a um círculo trigonométrico, que pode ser em radianos (rad) ou em graus (°). Com o círculo trigonométrico em radianos ou em graus, você pode obter, sem precisar fazer a conversão, a medida para um ângulo em grau ou radiano. Veja abaixo os dois círculos em graus e radianos.

Como construir um Círculo Trigonométrico?

Perceba que alguns ângulos no círculo acima são simétricos. Nesse caso, apenas alguns ângulos foram colocados na imagem acima para exemplificar. Pode ter muito mais.

Com o círculo trigonométrico, o estudo das razões trigonométricas fica muito mais simples de visualizar. Desenhando um triângulo, podemos ver como são definidas as relações trigonométricas.

Círculo Trigonométrico?

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Bons estudos! 😄

Leia mais…

Razão e proporção

Fração

Relações trigonométricas

Tabela trigonométrica

Triângulo






Autor

Jean Carlos Novaes by

Formado em Ciência da Computação na UFBA. Depois de ficar sete anos tentando cursar uma universidade, conseguiu entrar na UFBA prestando um dos mais concorridos vestibulares do país.
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