Círculo Trigonométrico

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O círculo trigonométrico é uma circunferência com um raio unitário. Nessa circunferência fixamos um ponto que chamaremos de A, onde esse ponto será a origem dos arcos e adotaremos o sentido anti-horário como positivo.

Índice do Artigo

Quadrantes do Círculo Trigonométrico

O círculo trigonométrico é dividido em 4 partes, chamadas de quadrantes:

Quadrantes do Círculo Trigonométrico
Quadrantes do Círculo Trigonométrico

São eles:

  • I: primeiro quadrante 0°;
  • II: segundo quadrante 90°;
  • III: terceiro quadrante 180°;
  • IV: quarto quadrante 270°;
  • O: centro do círculo.

Arco e Circunferência

Em uma circunferência, dois pontos A e B dividem-na em duas partes. Essa divisão chamamos de arcos, sendo A e B as extremidades desse arco que simbolizaremos da seguinte maneira:

Arco e Circunferência
Arco e Circunferência

A parte em vermelho, entre A e B, é o que chamamos de arco.

Ângulo Central

Considere a circunferência C abaixo. Chamamos de ângulo central em C, um ângulo coplanar, cujo vértice é o centro de C, esse ângulo é denominado o ângulo central relativo a C.

Ângulo Central
Ângulo Central

A parte em vermelho, entre os pontos A e B, é o arco da circunferência contido num ângulo central, e é chamado de o arco correspondente a esse ângulo.

Medidas de Ângulos e Arcos

Podemos medir ângulos e arcos de duas maneiras distintas: em graus e em radianos.

Medidas em Graus

Uma circunferência é dividida em 360 partes iguais entre si, cada uma dessas partes corresponde a um arco de 1º.

Um arco de 1º, dividido em 60 partes iguais entre si, cada uma dessas partes (arcos) corresponde a um minuto (1’).

Da mesma maneira, se dividirmos um arco de 1 minuto em 60 partes iguais entre si, cada uma dessas partes mede um segundo (1”).

Portanto, 1° = 60’ e 1’ = 60”

Um arco de circunferência com medidas a graus, b minutos e c segundos, então a°b’c”.

Medidas em Radianos

A medida de um arco, em radiano, é a razão entre o comprimento do arco e o raio da circunferência na qual o arco está determinando. Radiano é simbolizado por rad.

Exemplo:

Seja a medida de um ângulo α, em radianos, cujo arco tem comprimento l que estão contidos numa circunferência com raio r, então:

Medidas em Radianos
Medidas em Radianos

Ou seja, a medida do ângulo α é o comprimento do arco definido como l sobre o comprimento do raio r.

As medidas de arcos em um circunferência em graus e radianos são diretamente proporcionais, dessa forma podemos converter uma media em outra através de uma regra de três simples.

Medidas em Radianos
Medidas em Radianos

Logo, se quisermos converter uma medida em graus para radianos, por exemplo, devemos proceder da seguinte forma:

Graus          Radianos
a ——————– α
180 —————— π

Onde:

  • α é a medida do ângulo em radianos;
  • a é a medida do ângulo em graus;

Para isso, deve-se utilizar a seguinte fórmula:

Medidas em Radianos
Medidas em Radianos

A conversão é feita multiplicando em cruz.

Arco Orientado

Nas circunferências em trigonometria é adotado o percurso no sentido anti-horário como positivo e o sentido horário como negativo.

Arco Orientado
Arco Orientado

Exemplos:

Arco orientado de A a B com centro O e medidas π/2 ou 90°.

Arco Orientado
Arco Orientado no Sentido Anti-horário

Arco orientado de B a A com centro O e medidas -π/2 ou -90°.

Arco Orientado
Arco Orientado no Sentido Horário

Círculo Trigonométrico

Toda circunferência orientada, com centro O e raio unitário, em que podemos escolher um ponto de origem para os arcos, é chamada de circunferência trigonométrica ou círculo trigonométrico.

Os arcos em um círculo trigonométrico tem as mesmas medidas absolutas α igual ao comprimento l, pois α = l/r e r = 1.

Como construir um Círculo Trigonométrico?

Para construir um círculo trigonométrico precisamos escolher o sentido anti-horário ou horário, devemos seguir os passos:

Sentido Anti-Horário: escolha um ponto A, inicial, percorrendo no sentido anti-horário, um arco de comprimento π/5, assim obtemos um arco de π/5.

Construção do círculo trigonométrico
Construção do círculo trigonométrico

Sentido Horário: escolha um ponto A, inicial, percorrendo no sentido horário, obtemos um arco de comprimento 2, assim teremos um arco -2.

Construção do círculo trigonométrico
Construção do círculo trigonométrico

Seguindo esses passos, chegaremos a um círculo trigonométrico, que pode ser em radianos (rad) ou em graus (°). Com o círculo trigonométrico em radianos ou em graus, você pode obter, sem precisar fazer a conversão, a medida para um ângulo em grau ou radiano. Veja abaixo os dois círculos em graus e radianos.

Construção do círculo trigonométrico
Construção do círculo trigonométrico

Perceba que alguns ângulos no círculo acima são simétricos. Nesse caso, apenas alguns ângulos foram colocados na imagem acima para exemplificar. Pode ter muito mais.

Com o círculo trigonométrico, o estudo das razões trigonométricas fica muito mais simples de visualizar. Desenhando um triângulo, podemos ver como são definidas as relações trigonométricas.

Círculo trigonométrico
Círculo trigonométrico

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Triângulo


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