Razões Trigonométricas

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As razões trigonométricas no triângulo retângulo são as relações estabelecidas entre os ângulos do triângulo. Essas relações são obtidas através da divisão entre os valores correspondentes ao lados do triângulo.

Triângulo Retângulo

O triângulo retângulo recebe esse nome porque possui um ângulo reto, isto é, um ângulo que mede 90°.

Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo

A soma dos ângulos internos no triângulo retângulo é igual a 180°. Então, para o triangulo ABC acima apresentado, temos que:

α + β + 90° = 180° ⇒ α + β = 90°

Dessa forma, concluímos que:

  • Os ângulos α e β são chamados de ângulos complementares, isto é, são os ângulos em que suas medidas somam 90°;
  • Os ângulos complementares devem medir, necessariamente, menos que 90°.

O triângulo retângulo tem um ângulo reto e dois que são complementares entre si. Os lados b e c são chamados de catetos e a é a hipotenusa. Sendo que a hipotenusa é sempre oposta ao ângulo reto do triângulo e maior que os catetos, como mostra o Teorema de Pitágoras

Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo

As principais razões trigonométricas são: seno, cosseno e a tangente. Essas razões ou relações trigonométricas são válidas em qualquer triângulo retângulo.

Assim, definiremos o seno, cosseno e a tangente de um ângulo agudo em um triângulo retângulo pelas relações apresentada a seguir:

Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo

O seno, cosseno e a tangente são funções dos ângulos internos de triângulo retângulo e não dos lados.

Outras Razões Trigonométricas: Cotangente, Secante e Cossecante

Além das razões trigonométricas definidas anteriormente, podemos definir também por meio do lados do triângulo a cotangente, a secante e a cossecante. Veja:

Outras Razões Trigonométricas: Cotangente, Secante e Cossecante

Tabela de Razões Trigonométricas

A tabela trigonométrica para todos os valores dos senos, cossenos e para as tangentes dos ângulos do triângulo retângulo é apresentada a seguir:

Ângulos (Grau)SenoCossenoTangente
010
0,01750,99980,0175
0,03490,99940,0349
0,05230,99860,0524
0,06980,99760,0699
0,08720,99620,0875
0,10450,99450,1051
0,12190,99250,1228
0,13920,99030,1405
0,15640,98770,1584
10°0,17360,98480,1763
11°0,19080,98160,1944
12°0,20790,97810,2126
13°0,22500,97440,2309
14°0,24190,97030,2493
15°0,25880,96590,2679
16°0,27560,96130,2867
17°0,29240,95630,3057
18°0,30900,95110,3249
19°0,32560,94550,3443
20°0,34200,93970,3640
21°0,35840,93360,3839
22°0,37460,92720,4040
23°0,39070,92050,4245
24°0,40670,91350,4452
25°0,42260,90630,4663
26°0,43840,89880,4877
27°0,45400,89100,5095
28°0,46950,88290,5317
29°0,48480,87460,5543
30°0,50000,86600,5774
31°0,51500,85720,6009
32°0,52990,84800,6249
33°0,54460,83870,6494
34°0,55920,82900,6745
35°0,57360,81920,7002
36°0,58780,80900,7265
37°0,60180,79860,7536
38°0,61570,78800,7813
39°0,62930,77710,8098
40°0,64280,76600,8391
41°0,65610,75470,8693
42°0,66910,74310,9004
43°0,68200,73140,9325
44°0,69470,71930,9657
45°0,70710,70711
46°0,71930,69471,0355
47°0,73140,68201,0724
48°0,74310,66911,1106
49°0,75470,65611,1504
50°0,76600,64281,1918
51°0,77710,62931,2349
52°0,78800,61571,2799
53°0,79860,60181,3270
54°0,80900,58781,3764
55°0,81920,57361,4281
56°0,82900,55921,4826
57°0,83870,54461,5399
58°0,84800,52991,6003
59°0,85720,51501,6643
60°0,86600,50001,7321
61°0,87460,48481,8040
62°0,88290,46951,8807
63°0,89100,45401,9626
64°0,89880,43842,0503
65°0,90630,42262,1445
66°0,91350,40672,2460
67°0,92050,39072,3559
68°0,92720,37462,4751
69°0,93360,35842,6051
70°0,93970,34202,7475
71°0,94550,32562,9042
72°0,95110,30903,0777
73°0,95630,29243,2709
74°0,96130,27563,4874
75°0,96590,25883,7321
76°0,97030,24194,0108
77°0,97440,22504,3315
78°0,97810,20794,7046
79°0,98160,19085,1446
80°0,98480,17365,6713
81°0,98770,15646,3138
82°0,99030,13927,1154
83°0,99250,12198,1443
84°0,99450,10459,5144
85°0,99620,087211,4301
86°0,99760,069814,3007
87°0,99860,052319,0811
88°0,99940,034928,6363
89°0,99980,017557,2900
90°10___

Ângulos Notáveis

Em muitos problemas envolvendo trigonometria, três tipos de ângulos aparecem com maior frequência aplicado no estudo das razões trigonométricas. São eles: 30°, 45° e 60°. Esses ângulos são chamados de ângulos notáveis. A tabela a seguir apresenta os valores para o seno, cosseno e para a tangente dos ângulos notáveis:

Razões Trigonométricas30°45º60°
Seno
Tabela trigonométrica
Tabela trigonométrica
Tabela trigonométrica
Cosseno
Tabela trigonométrica
Tabela trigonométrica
Tabela trigonométrica
Tangente
Tabela trigonométrica
1
Tabela trigonométrica

Aplicação das Razões Trigonométricas

Existem muitos problemas na engenharia que podem ser aplicadas as razões trigonométricas para resolver um determinado problema real.

Exemplo:

(CPCAR-MG) Um avião decola de um ponto B sob a inclinação de um ângulo de 15° com a horizontal. A 2 km de B encontra-se a projeção vertical de C do ponto mais alto D de uma serra de 600 m de altura, conforme a figura a seguir.

Aplicação das Razões Trigonométricas

Dados: cos 15° = 0,97, sen 15° = 0,26, tan 15° = 0,27

É correto afirmar que:

a) não haverá colisão do avião com a serra;

b) haverá colisão com a serra antes de alcançar 540 m de altura;

c) haverá colisão com a serra em D;

d) se o avião decolar 220 m antes de B mantendo a mesma inclinação, não haverá colisão do avião contra a serra.

Resolução:

O figura da questão forma um triângulo retângulo BCA, com ângulo reto em C. Onde A é o lado formado pela rota do avião.

Para responder essa questão, precisamos encontrar o valor da medida do lado CA. Essa medida é a tangente do ângulo de 15°. Logo:

Aplicação das Razões Trigonométricas

Lembrando que a tangente é o cateto oposto sobre o adjacente, ou seja, BC/AC

De acordo com a questão, a altura da serra, formada pelo lado CD, possui 600 metros de altura, então haverá colisão com a serra antes do avião alcançar 540 m de altura. Resposta B.

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Bons estudos! 😄






Autor

Jean Carlos Novaes by

Formado em Ciência da Computação na UFBA. Depois de ficar sete anos tentando cursar uma universidade, conseguiu entrar na UFBA prestando um dos mais concorridos vestibulares do país.
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