Relações Trigonométricas Fundamentais. Entenda de Forma Direta!

Relações trigonométricas, também conhecidas como identidades trigonométricas, são funções que têm o objetivo de chegar na função do lado direito da igualdade a partir da função do lado esquerdo da igualdade trigonométrica.

As funções seno e cosseno de um ângulo são as funções trigonométricas básicas e as mais conhecidas, através destas funções é possível chegar as outras funções trigonométricas: tangente (tg), cotangente (cot), secante (sec) e cossecante (csc).

 

Exemplo:

Veja como podemos representar as relações trigonométricas a partir das funções seno e cosseno.

 

A função seno é representado como sen θ.

A função cosseno é representado por cos θ.

Onde θ representa o ângulo.

 

Assim,

    \[tg \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\]

    \[\cot \theta = \frac{1}{tg \theta} = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}\]

    \[\sec \theta = \frac{1}{cos \theta}\]

    \[\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta}\]

Perceba que encontramos as outras funções apenas conhecendo as funções seno e cosseno. Dessa forma, a tangente é o seno sobre o cosseno do ângulo; a cotangente é o inverso da tangente, ou seja, o cosseno sobre o seno do ângulo; a secante é o inverso do cosseno do ângulo; e a cossecante é o inverso do seno do ângulo.

 

Relações trigonométricas derivadas

Tendo conhecimento das relações trigonométricas básicas apresentadas no exemplo anterior, podemos derivar outras relações trigonométricas.

 

Exemplo:

Seja a relação fundamental sen² θ+ cos² θ= 1

 

1) Se dividirmos toda a função por cos² θ temos:

    \[\frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} + \frac{\cos^2 \theta}{\cos^2 \theta} = \frac{1}{\cos^2 \theta}\]

 

Sabe-se, porém, pelo exemplo acima, que

    \[\frac{\sin^2\theta}{\cos^2 \theta}\]

é a tangente ao quadrado e

    \[\frac{1}{\cos^2 \theta}\]

é a secante ao quadrado.

 

Assim, temos:

    \[tg^2 \theta  +  1 = \sec^2 \theta\]

ou

    \[\sec^2 \theta = 1  + tg^2 \theta\]

 

2) Se dividirmos por sen² θ temos:

    \[\frac{\sin^2 \theta}{\sin^2 \theta} + \frac{\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta} = \frac{1}{\sin^2 \theta}\]

Sabemos que

    \[\frac{\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta}\]

é a cotangente ao quadrado e

    \[\frac{1}{\sin^2 \theta}\]

é a cossecante ao quadrado.

 

Substituindo, temos:

    \[1  +  \cot^2 \theta = \csc^2 \theta\]

ou

    \[\csc^2 \theta = 1 + \cot^2 \theta\]

 

 

Identidades trigonométricas

Conheças agora algumas identidades trigonométricas que podem servir para a resolução de problemas envolvendo trigonometria.

  1.     \[{\sin 2x} + {\cos 2x} = 1\]

  2.     \[1 + tg 2x = \sec 2x = \frac{1}{\cos 2x}\]

  3.     \[1 + \cot 2x = \csc 2x = \frac{1}{\sin 2x}\]

  4.     \[\sin - x = - \sin x\]

  5.     \[\cos - x = \cos x\]

  6.     \[tg - x = - tg x= \frac{-sinx}{\cos x}\]

  7.     \[\csc x = \frac{1}{\sin x}\]

  8.     \[\sec x = \frac{1}{\cos x}\]

  9.     \[\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}\]

  10.     \[tg x = \frac{\sin x}{\cos x}\]

  11.     \[\sin(a \pm b) = \sin a \times \cos b \pm \cos a \times \sin b\]

  12.     \[\cos(a \pm b) = \cos a \times \cos b \pm \sin a \times \sin b\]

  13.     \[tg(a-b) = \frac{tg a - tg b}{1+tg a \times tg b}\]

  14.     \[tg(a-b) = \frac{tg a - tg b}{1+tg a \times tg b}\]

  15.     \[1-\cos 2x= \sin 2x\]

  16.     \[1-\sin 2x= \cos 2x\]

  17.     \[\sin 2x = 2 \sin x \times \cos x\]

  18.     \[\cos 2x = \cos 2x - \sin 2x = 1 - 2\sin 2x\]

  19.     \[tg 2x = \frac{2tg x}{1-tg 2x}\]

  20.     \[\frac{tg x}{2} = \frac{1-cos x}{\sin x} = \frac{\sin x}{1+\cos x}\]

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