Relações Trigonométricas

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Relações trigonométricas são funções trigonométricas relacionadas com os lados e o ângulo de um triângulo retângulo.

As funções seno e cosseno de um ângulo são as funções trigonométricas básicas e as mais conhecidas, através destas funções é possível chegar nas outras funções trigonométricas: tangente (tg), cotangente (cot), secante (sec) e cossecante (csc).

Exemplo:

Seja o triângulo ABC abaixo, em que θ representa o ângulo:

Relações trigonométricas no triângulo

Veja como podemos representar as relações trigonométricas a partir das funções seno, cosseno e tangente.

  • A função seno é representado como sen(θ);
  • A função cosseno é representado por cos(θ);
  • A função tangente é representada por tan(θ).

Essas funções são definidas pela razão entre os lados do triângulo e o ângulo θ. Assim:

  • sen(θ) = b/a
  • cos(θ) = c/a
  • tan(θ) = b/c

Onde:

  • a é a hipotenusa;
  • b é o cateto oposto;
  • c é o cateto adjacente ao ângulo θ.

Essas funções também são chamadas de razões trigonométricas, pois é através das razões entre os lado que elas são obtidas.

A partir dessas razões podemos definir outras funções que são importantes na trigonometria: cotangente (cot), secante (sec) e cossecante (csc).

A tangente também pode ser representada como:

Relações trigonométricas: tangente

A cotangente é o inverso da tangente, logo:

Relações trigonométricas: cotangente

A secante é o inverso do cosseno:

Relações trigonométricas: secante

A cossecante é o inverso do seno:

Relações trigonométricas: cossecante

Perceba que encontramos as outras funções apenas conhecendo as funções seno e cosseno. Dessa forma,

  • a tangente é o seno sobre o cosseno do ângulo;
  • a cotangente é o inverso da tangente, ou seja, o cosseno sobre o seno do ângulo;
  • a secante é o inverso do cosseno do ângulo;
  • e a cossecante é o inverso do seno do ângulo.

Relações trigonométricas derivadas

Tendo conhecimento das relações trigonométricas básicas apresentadas no exemplo anterior, podemos derivar outras relações trigonométricas.

Exemplo:

Seja a relação fundamental sen²(θ) + cos²(θ) = 1

Se dividirmos toda a função por cos²(θ) temos:

Relações trigonométricas derivadas

Sabe-se, porém, pelo exemplo acima, que

Relações trigonométricas derivadas

é a tangente ao quadrado e

é a secante ao quadrado.

Assim, temos que:

  • tan²(θ) + 1 = sec²(θ) ou sec²(θ) = 1 + tan²(θ)

Se dividirmos por sen²(θ) temos:

Relações trigonométricas derivadas

Sabemos que

é a cotangente ao quadrado e

é a cossecante ao quadrado.

Substituindo, temos:

  • 1 + cot²(θ) = csc²(θ) ou csc²(θ) = 1 + cot²(θ)

Identidades trigonométricas

Conheça agora algumas identidades trigonométricas que podem servir para a resolução de problemas envolvendo trigonometria.

Identidades trigonométricas
Identidades trigonométricas
Identidades trigonométricas

Bons estudos!

Veja mais…

Trigonometria

Tabela trigonométrica

Triângulo


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