Relações Trigonométricas Fundamentais. Entenda de Forma Direta!

Relações trigonométricas, também conhecidas como identidades trigonométricas, são funções que têm o objetivo de chegar na função do lado direito da igualdade a partir da função do lado esquerdo da igualdade trigonométrica.

As funções seno e cosseno de um ângulo são as funções trigonométricas básicas e as mais conhecidas, através destas funções é possível chegar as outras funções trigonométricas: tangente (tg), cotangente (cot), secante (sec) e cossecante (csc).

 

Exemplo:

Veja como podemos representar as relações trigonométricas a partir das funções seno e cosseno.

 

A função seno é representado como sen θ.

A função cosseno é representado por cos θ.

Onde θ representa o ângulo.

 

Assim,

$$tg \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$$
$$\cot \theta = \frac{1}{tg \theta} = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$$
$$\sec \theta = \frac{1}{cos \theta}$$
$$\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta}$$

Perceba que encontramos as outras funções apenas conhecendo as funções seno e cosseno. Dessa forma, a tangente é o seno sobre o cosseno do ângulo; a cotangente é o inverso da tangente, ou seja, o cosseno sobre o seno do ângulo; a secante é o inverso do cosseno do ângulo; e a cossecante é o inverso do seno do ângulo.

 

Relações trigonométricas derivadas

Tendo conhecimento das relações trigonométricas básicas apresentadas no exemplo anterior, podemos derivar outras relações trigonométricas.

 

Exemplo:

Seja a relação fundamental sen² θ+ cos² θ= 1

 

1) Se dividirmos toda a função por cos² θ temos:
$$\frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} + \frac{\cos^2 \theta}{\cos^2 \theta} = \frac{1}{\cos^2 \theta}$$

 

Sabe-se, porém, pelo exemplo acima, que $$\frac{\sin^2\theta}{\cos^2 \theta}$$ é a tangente ao quadrado e $$\frac{1}{\cos^2 \theta}$$ é a secante ao quadrado.

 

Assim, temos:

$$tg^2 \theta  +  1 = \sec^2 \theta$$

ou

$$\sec^2 \theta = 1  + tg^2 \theta$$

 

2) Se dividirmos por sen² θ temos:
$$\frac{\sin^2 \theta}{\sin^2 \theta} + \frac{\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta} = \frac{1}{\sin^2 \theta}$$

Sabemos que $$\frac{\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta}$$ é a cotangente ao quadrado e $$\frac{1}{\sin^2 \theta}$$ é a cossecante ao quadrado.

 

Substituindo, temos:

$$1  +  \cot^2 \theta = \csc^2 \theta$$

ou

$$\csc^2 \theta = 1 + \cot^2 \theta$$

 

 

Identidades trigonométricas

Conheças agora algumas identidades trigonométricas que podem servir para a resolução de problemas envolvendo trigonometria.

  1. $${\sin 2x} + {\cos 2x} = 1$$
  2. $$1 + tg 2x = \sec 2x = \frac{1}{\cos 2x}$$
  3. $$1 + \cot 2x = \csc 2x = \frac{1}{\sin 2x}$$
  4. $$\sin – x = – \sin x$$
  5. $$\cos – x = \cos x$$
  6. $$tg – x = – tg x= \frac{-sinx}{\cos x}$$
  7. $$\csc x = \frac{1}{\sin x}$$
  8. $$\sec x = \frac{1}{\cos x}$$
  9. $$\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$$
  10. $$tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$$
  11. $$\sin(a \pm b) = \sin a \times \cos b \pm \cos a \times \sin b$$
  12. $$\cos(a \pm b) = \cos a \times \cos b \pm \sin a \times \sin b$$
  13. $$tg(a-b) = \frac{tg a – tg b}{1+tg a \times tg b}$$
  14. $$tg(a-b) = \frac{tg a – tg b}{1+tg a \times tg b}$$
  15. $$1-\cos 2x= \sin 2x$$
  16. $$1-\sin 2x= \cos 2x$$
  17. $$\sin 2x = 2 \sin x \times \cos x$$
  18. $$\cos 2x = \cos 2x – \sin 2x = 1 – 2\sin 2x$$
  19. $$tg 2x = \frac{2tg x}{1-tg 2x}$$
  20. $$\frac{tg x}{2} = \frac{1-cos x}{\sin x} = \frac{\sin x}{1+\cos x}$$

Veja mais…

 

  • Lucas Silva

    muito bom

  • Dalisson Lopes

    teni quase nada

  • Túlio Prata

    No exemplo 1 diz que [sen² [Téta]] / [cos² [Téta]] é igual à tangente.
    Na verdade, é igual à tangente ao quadrado.

    • Thiago Silva

      Mas é exatamente isso o que o ex. 1 está dizendo. Sin²θ / Cos²θ = Tan²θ.

      • Jean Carlos Novaes

        Eu alterei. =)