Sinus, cosinus och tangens för 30°, 45° och 60°

Sinus, cosinus och tangens för 30°, 45° och 60° har exakta värden som kan härledas ur två rätvinkliga trianglar. Tabellen samlar resultaten. Konstruktionerna nedan visar varifrån bråken och rötterna kommer utan decimalavrundning.

Tabell över exakta värden

Välj raden för vinkeln och kolumnen för funktionen. Värdena är förhållanden mellan längder och har ingen enhet. Bråk och rötter behåller värdena exakta.

Härled värdena för 30° och 60°

Börja med en liksidig triangel med sidan 2. Höjden delar den i två kongruenta rätvinkliga trianglar med hypotenusan 2, den korta kateten 1 och spetsiga vinklar på 30° och 60°. Pythagoras sats ger den andra kateten h:

För 30° är motstående katet 1 och hypotenusan 2, så sinus är en halv. Cosinus jämför närliggande katet med samma hypotenusa. För 60° byter kateterna roller. Därför är sinus för 30° lika med cosinus för 60°, och omvänt.

Varför är sinus och cosinus för 45° lika?

En diagonal i en kvadrat med sidan 1 bildar två likbenta rätvinkliga trianglar. De spetsiga vinklarna är 45° och diagonalen är hypotenusan:

Lika kateter ger lika sinus och cosinus. Dividera en katet med hypotenusan och rationalisera nämnaren för att få tabellens bråk. Tangens är 1 eftersom två lika långa kateter jämförs.

Beräkna tangens med sinus och cosinus

Tangens är motstående katet dividerad med närliggande katet. Även följande samband gäller:

Beräkna en motstående katet vid 60°

I en rätvinklig triangel är den närliggande kateten till en 60°-vinkel 4 cm. Vi söker motstående katet h. Den givna längden är alltså inte hypotenusan.

1. Välj tangens eftersom den kopplar ihop motstående och närliggande katet. Sätt h i täljaren och 4 i nämnaren.

   $$\tan 60°=\frac{h}{4}$$

2. Multiplicera båda leden med 4 för att lösa ut h. Förhållandet ger då den sökta längden.

   $$h=4\times \tan 60°$$

3. Ersätt tangens med det exakta tabellvärdet. Beräkna en decimalapproximation först på slutet.

   $$h=4\sqrt{3}\approx \mathrm{6,93}\text{cm}$$

Motstående katet är exakt fyra gånger roten ur tre centimeter, ungefär 6,93 cm. Använd gradläge om du kontrollerar med miniräknare.

För 30° får du inversen av roten ur tre. Multiplicera täljare och nämnare med samma rot för att få den rationaliserade formen i tabellen. För 60° är tangens roten ur tre.

Bygg upp tabellen från minnet

För sinus vid 30°, 45° och 60° tar du rötterna ur 1, 2 och 3 och delar var och en med 2. För cosinus vänder du ordningen. Beräkna sedan tangens som kvoten. Det är ett minnesstöd för dessa tre vinklar, inte en regel för godtyckliga vinkelmått.

Om du kontrollerar decimaler med miniräknare ska gradläget vara valt. I radianläge betyder samma inmatade tal andra vinklar. Tabellen är exakt medan avrundade decimaler är närmevärden. Se även grader och radianer.