El seno, coseno y tangente de 30°, 45° y 60° tienen valores exactos que se deducen de dos triángulos rectángulos. La tabla reúne esos valores; después veremos cómo obtenerlos sin recurrir a una aproximación decimal.
Tabla de seno, coseno y tangente
Busca la fila del ángulo y la columna de la razón que necesitas. Son cocientes entre longitudes, por lo que no tienen unidad. Las fracciones y raíces mantienen los valores exactos.
| α | sin α | cos α | tan α |
|---|---|---|---|
| 30° | |||
| 45° | |||
| 60° |
¿De dónde salen los valores de 30° y 60°?
Parte de un triángulo equilátero de lado 2. Su altura lo divide en dos triángulos rectángulos congruentes, con hipotenusa 2, cateto menor 1 y ángulos agudos de 30° y 60°. El teorema de Pitágoras permite calcular el otro cateto h:
Para 30°, el cateto opuesto mide 1 y la hipotenusa mide 2, de modo que el seno es un medio. El coseno compara el cateto adyacente con la misma hipotenusa. Para 60°, los catetos intercambian sus funciones: por eso el seno de 30° coincide con el coseno de 60°, y a la inversa.
Los valores de 45° se obtienen de un cuadrado
Dibuja una diagonal en un cuadrado de lado 1. Se forman dos triángulos rectángulos con catetos iguales y ángulos agudos de 45°. La diagonal es la hipotenusa:
Como los catetos tienen la misma longitud, el seno y el coseno son iguales. Al dividir un cateto por la hipotenusa y racionalizar el denominador se obtiene la fracción de la tabla. La tangente vale 1 porque compara dos catetos iguales.
Calcular la tangente mediante seno y coseno
La tangente divide el cateto opuesto entre el adyacente. También puede calcularse así:
Calcular el cateto opuesto a un ángulo de 60°
En un triángulo rectángulo, el cateto adyacente a un ángulo de 60° mide 4 cm. Buscamos el cateto opuesto h. El dato corresponde a un cateto, no a la hipotenusa.
Usa la tangente porque relaciona los catetos opuesto y adyacente. Escribe h en el numerador y 4 en el denominador.
Multiplica ambos miembros por 4 para despejar h. Así conviertes la razón en la longitud buscada.
Sustituye la tangente por su valor exacto en la tabla y calcula la aproximación decimal al final.
El cateto opuesto mide exactamente cuatro veces la raíz de tres centímetros, aproximadamente 6,93 cm. Si lo compruebas con una calculadora, selecciona grados.
Para 30°, el resultado es el inverso de la raíz de tres. Multiplicar numerador y denominador por esa raíz da la forma racionalizada de la tabla. Para 60°, la tangente es la raíz de tres.
Cómo reconstruir la tabla sin adivinar
Para el seno de 30°, 45° y 60°, escribe las raíces de 1, 2 y 3, cada una dividida entre 2. Para el coseno, invierte la secuencia. Calcula la tangente con el cociente de ambas razones. Este recurso sirve para recordar esos tres ángulos, no para obtener el valor de cualquier ángulo.
Si compruebas los decimales con una calculadora, selecciona grados. En modo radianes, la misma entrada numérica significa otra cosa. Los valores de la tabla son exactos; los decimales redondeados son aproximaciones. Repasa la relación entre grados y radianes.
