Sinus, cosinus og tangens til 30°, 45° og 60°

Sinus, cosinus og tangens til 30°, 45° og 60° har eksakte værdier, som kan udledes af to retvinklede trekanter. Tabellen samler dem, og konstruktionerne nedenfor forklarer brøkerne og rødderne uden decimaltilnærmelser.

Tabel over eksakte værdier

Find rækken med vinklen og kolonnen med funktionen. Værdierne er forhold mellem længder og har ingen enhed. Brøker og rødder bevarer de eksakte resultater.

Udled værdierne for 30° og 60°

Tag en ligesidet trekant med siden 2. Højden deler den i to kongruente retvinklede trekanter med hypotenusen 2, den korte katete 1 og spidse vinkler på 30° og 60°. Pythagoras giver den anden katete h:

Ved 30° er modstående katete 1 og hypotenusen 2, så sinus er en halv. Cosinus sammenligner hosliggende katete med samme hypotenuse. Ved 60° bytter kateterne roller. Derfor er sinus til 30° lig cosinus til 60° og omvendt.

Hvorfor er sinus og cosinus til 45° ens?

En diagonal i et kvadrat med siden 1 skaber to ligebenede retvinklede trekanter. De spidse vinkler er 45°, og diagonalen er hypotenusen:

Lige lange kateter giver samme sinus og cosinus. Divider en katete med hypotenusen og gør nævneren rational for at få tabellens brøk. Tangens er 1, fordi den sammenligner to lige lange kateter.

Find tangens ud fra sinus og cosinus

Tangens er modstående katete divideret med hosliggende katete. Desuden gælder:

Beregn en modstående katete ved 60°

I en retvinklet trekant er den hosliggende katete til en 60°-vinkel 4 cm. Vi søger den modstående katete h. Den givne længde er ikke hypotenusen.

1. Vælg tangens, fordi den forbinder modstående og hosliggende katete. Sæt h i tælleren og 4 i nævneren.

   $$\tan 60°=\frac{h}{4}$$

2. Gang begge sider med 4 for at isolere h. Forholdet giver dermed den søgte længde.

   $$h=4\times \tan 60°$$

3. Erstat tangens med den eksakte tabelværdi. Beregn først en decimaltilnærmelse til sidst.

   $$h=4\sqrt{3}\approx \mathrm{6,93}\text{cm}$$

Den modstående katete er præcis fire gange kvadratroden af tre centimeter, cirka 6,93 cm. Brug grader ved kontrol på en lommeregner.

Ved 30° får du den reciprokke værdi af kvadratroden af tre. Gang tæller og nævner med denne rod for at få tabellens form. Ved 60° er tangens kvadratroden af tre.

Byg tabellen op igen

Til sinus for 30°, 45° og 60° tager du kvadratrødderne af 1, 2 og 3 og dividerer hver med 2. Til cosinus vender du rækkefølgen om. Beregn derefter tangens som kvotienten. Det er en huskeregel for disse tre vinkler, ikke for vilkårlige gradtal.

Vælg grader, hvis du kontrollerer decimaler på en lommeregner. I radianindstilling betyder de samme tal andre vinkler. Tabellen er eksakt; afrundede decimaler er tilnærmelser. Se også grader og radianer.