Seno, coseno e tangente di 30°, 45° e 60° hanno valori esatti che si ricavano da due triangoli rettangoli. La tabella li raccoglie; le costruzioni successive spiegano l’origine delle frazioni e delle radici, senza approssimazioni decimali.
Tabella dei valori degli angoli notevoli
Leggi la riga dell’angolo e la colonna della funzione desiderata. I valori sono rapporti tra lunghezze e non hanno unità di misura. Frazioni e radici mantengono il risultato esatto.
| α | sin α | cos α | tan α |
|---|---|---|---|
| 30° | |||
| 45° | |||
| 60° |
Da dove vengono i valori di 30° e 60°?
Parti da un triangolo equilatero di lato 2. L’altezza lo divide in due triangoli rettangoli congruenti con ipotenusa 2, cateto minore 1 e angoli acuti di 30° e 60°. Pitagora fornisce l’altro cateto h:
Per 30°, il cateto opposto misura 1 e l’ipotenusa 2, quindi il seno è un mezzo. Il coseno confronta il cateto adiacente con la stessa ipotenusa. Per 60°, i cateti scambiano ruolo: ecco perché il seno di 30° coincide con il coseno di 60°, e viceversa.
Perché seno e coseno di 45° coincidono?
Disegna una diagonale in un quadrato di lato 1. Ottieni due triangoli rettangoli isosceli, con angoli acuti di 45°. La diagonale è l’ipotenusa:
Poiché i cateti sono uguali, seno e coseno sono uguali. Dividendo un cateto per l’ipotenusa e razionalizzando il denominatore si ottiene la frazione della tabella. La tangente vale 1, essendo il rapporto tra cateti uguali.
Calcolare la tangente da seno e coseno
La tangente è il cateto opposto diviso per quello adiacente. Vale anche:
Calcolare il cateto opposto a un angolo di 60°
In un triangolo rettangolo, il cateto adiacente a un angolo di 60° misura 4 cm. Cerchiamo il cateto opposto h. Il dato è un cateto, non l’ipotenusa.
Scegli la tangente, che mette in rapporto cateto opposto e adiacente. Scrivi h al numeratore e 4 al denominatore.
Moltiplica entrambi i membri per 4 per isolare h. Il rapporto permette così di ottenere la lunghezza richiesta.
Sostituisci la tangente con il valore esatto della tabella e calcola l’approssimazione decimale solo alla fine.
Il cateto opposto misura esattamente quattro volte la radice di tre centimetri, circa 6,93 cm. Per una verifica con la calcolatrice, seleziona i gradi.
Per 30° si ottiene il reciproco della radice di tre. Moltiplicando numeratore e denominatore per quella radice si arriva alla forma razionalizzata della tabella. Per 60° la tangente è la radice di tre.
Ricostruire la tabella
Per i seni di 30°, 45° e 60°, scrivi le radici di 1, 2 e 3 e dividile ciascuna per 2. Per i coseni, inverti la sequenza. Ricava poi le tangenti dal quoziente. È un aiuto per ricordare questi tre angoli, non una regola per angoli qualsiasi.
Se verifichi i decimali con la calcolatrice, seleziona i gradi. In modalità radianti gli stessi numeri indicano angoli diversi. La tabella contiene valori esatti; i decimali arrotondati sono approssimazioni. Ripassa gradi e radianti per le unità angolari.
