Sinus, Kosinus und Tangens von 30°, 45° und 60° besitzen exakte Werte, die sich aus zwei rechtwinkligen Dreiecken herleiten lassen. Die Tabelle fasst sie zusammen. Anschließend zeigen die Konstruktionen, woher die Brüche und Wurzeln stammen.
Tabelle der exakten trigonometrischen Werte
Wähle die Zeile des Winkels und die Spalte der gesuchten Funktion. Die Werte sind Verhältnisse von Längen und haben keine Einheit. Brüche und Wurzeln erhalten den exakten Wert.
| α | sin α | cos α | tan α |
|---|---|---|---|
| 30° | |||
| 45° | |||
| 60° |
Die Werte für 30° und 60° herleiten
Beginne mit einem gleichseitigen Dreieck der Seitenlänge 2. Seine Höhe zerlegt es in zwei deckungsgleiche rechtwinklige Dreiecke. Ihre Hypotenuse ist 2, ihre kurze Kathete 1, und ihre spitzen Winkel betragen 30° und 60°. Pythagoras liefert die andere Kathete h:
Beim 30°-Winkel ist die Gegenkathete 1 und die Hypotenuse 2; sein Sinus ist daher ein Halb. Der Kosinus vergleicht die Ankathete mit derselben Hypotenuse. Beim 60°-Winkel tauschen die Katheten ihre Rollen. Deshalb ist der Sinus von 30° gleich dem Kosinus von 60°, und umgekehrt.
Warum sind Sinus und Kosinus von 45° gleich?
Eine Diagonale im Quadrat mit Seitenlänge 1 erzeugt zwei rechtwinklig-gleichschenklige Dreiecke. Ihre spitzen Winkel messen jeweils 45°. Die Diagonale ist die Hypotenuse:
Gleiche Katheten führen zu gleichem Sinus und Kosinus. Teilt man eine Kathete durch die Hypotenuse und macht den Nenner rational, erhält man den Tabellenwert. Der Tangens ist 1, weil zwei gleich lange Katheten verglichen werden.
Den Tangens aus Sinus und Kosinus bestimmen
Der Tangens ist Gegenkathete geteilt durch Ankathete. Ebenso gilt:
Eine Gegenkathete mit einem Winkel von 60° berechnen
In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Ankathete zum 60°-Winkel 4 cm lang. Gesucht ist die Gegenkathete h. Die gegebene Länge gehört zu einer Kathete, nicht zur Hypotenuse.
Wähle den Tangens, weil er Gegenkathete und Ankathete verknüpft. Setze h in den Zähler und 4 in den Nenner.
Multipliziere beide Seiten mit 4, um h freizustellen. Aus dem Verhältnis wird so die gesuchte Länge.
Ersetze den Tangens durch den exakten Tabellenwert. Berechne erst zum Schluss einen gerundeten Dezimalwert.
Die Gegenkathete ist exakt viermal die Wurzel aus drei Zentimeter lang, ungefähr 6,93 cm. Für die Taschenrechnerprobe muss der Gradmodus eingestellt sein.
Für 30° ergibt sich der Kehrwert der Wurzel aus drei. Durch Erweitern mit dieser Wurzel erhält man die Form mit rationalem Nenner in der Tabelle. Für 60° ist der Tangens die Wurzel aus drei.
Die Tabelle selbst wieder aufbauen
Für den Sinus von 30°, 45° und 60° nimm die Wurzeln aus 1, 2 und 3 und teile sie jeweils durch 2. Für den Kosinus kehrst du die Reihenfolge um. Den Tangens erhältst du anschließend als Quotienten. Diese Merkhilfe gilt für diese drei Winkel, nicht für beliebige Winkelmaße.
Wenn du Dezimalwerte mit dem Taschenrechner prüfst, stelle den Gradmodus ein. Im Bogenmaßmodus bedeuten dieselben Eingabezahlen etwas anderes. Die Tabellenwerte sind exakt; gerundete Dezimalzahlen sind Näherungen. Siehe auch Gradmaß und Bogenmaß.
