Sinus, cosinus og tangens til 30°, 45° og 60°

Sinus, cosinus og tangens til 30°, 45° og 60° har eksakte verdier som kan utledes fra to rettvinklede trekanter. Tabellen samler resultatene. Konstruksjonene nedenfor forklarer hvor brøkene og røttene kommer fra, uten desimalavrunding.

Tabell over eksakte verdier

Finn raden med vinkelen og kolonnen med funksjonen. Verdiene er forhold mellom lengder og har ingen enhet. Brøker og røtter beholder de eksakte verdiene.

Utled verdiene for 30° og 60°

Start med en likesidet trekant med side 2. Høyden deler den i to kongruente rettvinklede trekanter med hypotenusen 2, den korte kateten 1 og spisse vinkler på 30° og 60°. Pytagoras gir den andre kateten h:

Ved 30° er motstående katet 1 og hypotenusen 2, så sinus er en halv. Cosinus sammenligner hosliggende katet med samme hypotenus. Ved 60° bytter katetene roller. Derfor er sinus til 30° lik cosinus til 60° og omvendt.

Hvorfor er sinus og cosinus til 45° like?

En diagonal i et kvadrat med side 1 lager to likebeinte rettvinklede trekanter. De spisse vinklene er 45°, og diagonalen er hypotenusen:

Like kateter gir lik sinus og cosinus. Del en katet på hypotenusen og gjør nevneren rasjonal for å få brøken i tabellen. Tangens er 1 fordi den sammenligner to like lange kateter.

Finn tangens fra sinus og cosinus

Tangens er motstående katet delt på hosliggende katet. Også dette forholdet gjelder:

Beregn en motstående katet ved 60°

I en rettvinklet trekant er den hosliggende kateten til en 60°-vinkel 4 cm. Vi søker den motstående kateten h. Den oppgitte lengden er ikke hypotenusen.

1. Velg tangens fordi den forbinder motstående og hosliggende katet. Sett h i telleren og 4 i nevneren.

   $$\tan 60°=\frac{h}{4}$$

2. Multipliser begge sider med 4 for å isolere h. Forholdet gir dermed den søkte lengden.

   $$h=4\times \tan 60°$$

3. Erstatt tangens med den eksakte tabellverdien. Beregn en desimaltilnærming først til slutt.

   $$h=4\sqrt{3}\approx \mathrm{6,93}\text{cm}$$

Den motstående kateten er nøyaktig fire ganger kvadratroten av tre centimeter, omtrent 6,93 cm. Bruk grader ved kontroll med kalkulator.

Ved 30° får du den omvendte verdien av kvadratroten av tre. Multipliser teller og nevner med samme rot for å få tabellens form. Ved 60° er tangens kvadratroten av tre.

Bygg opp tabellen fra hukommelsen

For sinus til 30°, 45° og 60° tar du kvadratrøttene av 1, 2 og 3 og deler hver på 2. For cosinus snur du rekkefølgen. Regn deretter tangens som kvotienten. Dette er en huskeregel for disse tre vinklene, ikke for vilkårlige vinkelmål.

Velg grader når du kontrollerer desimaler på kalkulatoren. I radianmodus betyr de samme tallene andre vinkler. Tabellen er eksakt; avrundede desimaler er tilnærminger. Les også om grader og radianer.