De sinus, cosinus en tangens van 30°, 45° en 60° hebben exacte waarden die je uit twee rechthoekige driehoeken kunt afleiden. De tabel verzamelt ze. Daarna laten de constructies zien waar de breuken en wortels vandaan komen.
Tabel met exacte waarden
Zoek de rij van de hoek en de kolom van de gewenste functie. De waarden zijn verhoudingen van lengtes en hebben geen eenheid. Breuken en wortels houden de uitkomsten exact.
| α | sin α | cos α | tan α |
|---|---|---|---|
| 30° | |||
| 45° | |||
| 60° |
De waarden voor 30° en 60° afleiden
Neem een gelijkzijdige driehoek met zijde 2. De hoogtelijn verdeelt hem in twee congruente rechthoekige driehoeken met schuine zijde 2, korte rechthoekszijde 1 en scherpe hoeken van 30° en 60°. Pythagoras geeft de andere rechthoekszijde h:
Bij 30° is de overstaande zijde 1 en de schuine zijde 2, dus de sinus is een half. De cosinus vergelijkt de aanliggende zijde met dezelfde schuine zijde. Bij 60° wisselen de rechthoekszijden van rol. Daarom is de sinus van 30° gelijk aan de cosinus van 60°, en andersom.
Waarom zijn sinus en cosinus van 45° gelijk?
Een diagonaal in een vierkant met zijde 1 maakt twee gelijkbenige rechthoekige driehoeken. Hun scherpe hoeken meten 45°. De diagonaal is de schuine zijde:
Omdat de rechthoekszijden gelijk zijn, zijn sinus en cosinus gelijk. Deel een rechthoekszijde door de schuine zijde en maak de noemer rationaal om de tabelwaarde te krijgen. De tangens is 1, omdat twee gelijke zijden worden vergeleken.
Tangens berekenen met sinus en cosinus
De tangens is de overstaande zijde gedeeld door de aanliggende zijde. Ook geldt:
Een overstaande rechthoekszijde bij 60° berekenen
In een rechthoekige driehoek is de aanliggende rechthoekszijde bij een hoek van 60° gelijk aan 4 cm. We zoeken de overstaande zijde h. De gegeven lengte is niet de schuine zijde.
Kies de tangens, omdat die de overstaande en aanliggende rechthoekszijde verbindt. Zet h in de teller en 4 in de noemer.
Vermenigvuldig beide kanten met 4 om h vrij te maken. Het verhoudingsgetal levert zo de gezochte lengte.
Vervang de tangens door de exacte tabelwaarde. Bereken pas aan het einde een decimale benadering.
De overstaande zijde is exact viermaal de wortel uit drie centimeter, ongeveer 6,93 cm. Gebruik de gradenstand bij een controle met de rekenmachine.
Voor 30° krijg je het omgekeerde van de wortel uit drie. Teller en noemer met die wortel vermenigvuldigen geeft de vorm in de tabel. Voor 60° is de tangens de wortel uit drie.
De tabel opnieuw opbouwen
Neem voor de sinus van 30°, 45° en 60° de wortels uit 1, 2 en 3 en deel elk door 2. Voor de cosinus draai je de volgorde om. Bereken daarna de tangens als het quotiënt. Dit geheugensteuntje geldt voor deze drie hoeken, niet voor willekeurige hoekgroottes.
Controleer op een rekenmachine of de gradenstand is ingesteld. In radialen krijgen dezelfde ingevoerde getallen een andere betekenis. De tabelwaarden zijn exact; afgeronde decimalen zijn benaderingen. Lees meer over graden en radialen.
