Sinus, cosinus i tangens kątów 30°, 45° i 60°

Sinus, cosinus i tangens kątów 30°, 45° i 60° mają dokładne wartości, które można wyprowadzić z dwóch trójkątów prostokątnych. Tabela zbiera wyniki, a konstrukcje poniżej wyjaśniają ich pochodzenie bez przybliżeń dziesiętnych.

Tabela wartości szczególnych kątów

Wybierz wiersz kąta i kolumnę funkcji. Wartości są stosunkami długości, więc nie mają jednostek. Ułamki i pierwiastki zachowują dokładność wyniku.

Skąd biorą się wartości dla 30° i 60°?

Weź trójkąt równoboczny o boku 2. Wysokość dzieli go na dwa przystające trójkąty prostokątne z przeciwprostokątną 2, krótszą przyprostokątną 1 i kątami ostrymi 30° oraz 60°. Twierdzenie Pitagorasa daje drugą przyprostokątną h:

Dla kąta 30° bok naprzeciwko ma długość 1, a przeciwprostokątna 2, więc sinus wynosi połowę. Cosinus porównuje przyprostokątną przyległą z przeciwprostokątną. Dla 60° przyprostokątne zamieniają role. Dlatego sinus 30° jest równy cosinusowi 60° i odwrotnie.

Dlaczego sinus i cosinus 45° są równe?

Przekątna kwadratu o boku 1 tworzy dwa trójkąty prostokątne równoramienne. Ich kąty ostre mają po 45°, a przekątna jest przeciwprostokątną:

Równe przyprostokątne oznaczają równy sinus i cosinus. Podzielenie przyprostokątnej przez przeciwprostokątną i usunięcie niewymierności z mianownika daje ułamek z tabeli. Tangens wynosi 1, bo porównuje równe długości.

Tangens z sinusa i cosinusa

Tangens jest stosunkiem przyprostokątnej naprzeciw kąta do przyprostokątnej przy kącie. Można też użyć zależności:

Obliczanie przyprostokątnej naprzeciw kąta 60°

W trójkącie prostokątnym przyprostokątna przyległa do kąta 60° ma 4 cm. Szukamy przeciwległej przyprostokątnej h. Podana długość nie jest przeciwprostokątną.

1. Wybierz tangens, ponieważ porównuje przyprostokątną naprzeciw kąta z przyległą. Umieść h w liczniku, a 4 w mianowniku.

   $$\tan 60°=\frac{h}{4}$$

2. Pomnóż obie strony przez 4, aby wyznaczyć h. Stosunek długości pozwala wtedy obliczyć szukany bok.

   $$h=4\times \tan 60°$$

3. Zastąp tangens dokładną wartością z tabeli. Przybliżenie dziesiętne oblicz dopiero na końcu.

   $$h=4\sqrt{3}\approx \mathrm{6,93}\text{cm}$$

Przeciwległa przyprostokątna ma dokładnie cztery pierwiastki z trzech centymetrów, około 6,93 cm. Przy sprawdzaniu kalkulatorem ustaw stopnie.

Dla 30° otrzymujemy odwrotność pierwiastka z trzech. Pomnożenie licznika i mianownika przez ten pierwiastek daje postać z tabeli. Dla 60° tangens jest pierwiastkiem z trzech.

Jak odtworzyć tabelę z pamięci

Dla sinusów 30°, 45° i 60° weź pierwiastki z 1, 2 i 3 i podziel każdy przez 2. Dla cosinusów odwróć kolejność. Tangensy oblicz jako ilorazy. Ta wskazówka dotyczy trzech podanych kątów, a nie dowolnych miar.

Sprawdzając liczby dziesiętne kalkulatorem, ustaw stopnie. W trybie radianów ta sama liczba oznacza inny kąt. Tabela zawiera wartości dokładne, a zaokrąglone rozwinięcia są przybliżeniami. Przypomnij sobie stopnie i radiany.