Valeurs exactes de sin, cos et tan pour 30°, 45° et 60°

Les sinus, cosinus et tangentes de 30°, 45° et 60° possèdent des valeurs exactes que l’on peut déduire de deux triangles rectangles. Le tableau les rassemble ; les constructions expliquent ensuite leur origine sans approximation décimale.

Tableau des valeurs trigonométriques remarquables

Choisissez la ligne de l’angle et la colonne de la fonction. Les valeurs sont des rapports de longueurs, sans unité. Les fractions et les racines conservent leur caractère exact.

Retrouver les valeurs de 30° et 60°

Prenez un triangle équilatéral de côté 2. Sa hauteur le partage en deux triangles rectangles superposables, d’hypoténuse 2, de petit côté 1 et d’angles aigus 30° et 60°. Le théorème de Pythagore donne l’autre côté h :

Pour 30°, le côté opposé vaut 1 et l’hypoténuse 2 : le sinus vaut donc un demi. Le cosinus compare le côté adjacent à la même hypoténuse. Pour 60°, les rôles des deux côtés perpendiculaires s’inversent. Le sinus de 30° est donc le cosinus de 60°, et inversement.

Pourquoi sinus et cosinus de 45° sont-ils égaux ?

Tracez la diagonale d’un carré de côté 1. Elle forme deux triangles rectangles isocèles, dont les angles aigus mesurent 45°. La diagonale est l’hypoténuse :

Les deux côtés perpendiculaires étant égaux, sinus et cosinus sont égaux. Diviser un côté par l’hypoténuse puis rationaliser le dénominateur donne la fraction du tableau. La tangente vaut 1, car elle compare deux longueurs égales.

Calculer la tangente avec le sinus et le cosinus

La tangente est le rapport du côté opposé au côté adjacent. On peut aussi utiliser :

Calculer le côté opposé à un angle de 60°

Dans un triangle rectangle, le côté adjacent à un angle de 60° mesure 4 cm. On cherche le côté opposé h. La longueur donnée n’est pas l’hypoténuse.

1. Choisissez la tangente, qui relie le côté opposé au côté adjacent. Placez h au numérateur et 4 au dénominateur.

   $$\tan 60°=\frac{h}{4}$$

2. Multipliez les deux membres par 4 pour isoler h. Le rapport permet alors d’obtenir la longueur cherchée.

   $$h=4\times \tan 60°$$

3. Remplacez la tangente par sa valeur exacte dans le tableau, puis calculez une approximation décimale à la fin.

   $$h=4\sqrt{3}\approx \mathrm{6,93}\text{cm}$$

Le côté opposé mesure exactement quatre fois la racine de trois centimètres, soit environ 6,93 cm. Pour vérifier à la calculatrice, choisissez le mode degrés.

Pour 30°, on obtient l’inverse de la racine de trois. Multiplier numérateur et dénominateur par cette racine donne la forme rationalisée du tableau. Pour 60°, la tangente vaut la racine de trois.

Reconstruire le tableau

Pour les sinus de 30°, 45° et 60°, prenez les racines de 1, 2 et 3, puis divisez chacune par 2. Pour les cosinus, inversez la suite. Calculez ensuite les tangentes par quotient. Cette astuce sert à mémoriser ces trois angles, pas à calculer une valeur pour n’importe quel angle.

Sur une calculatrice, vérifiez le mode degrés. En mode radians, les mêmes nombres ne désignent pas les mêmes angles. Les valeurs du tableau sont exactes ; les décimales arrondies ne sont que des approximations. Consultez les degrés et les radians pour revoir les unités.