Sinin, kosinin ja tangentin tarkat arvot: 30°, 45° ja 60°

Kulmien 30°, 45° ja 60° sinillä, kosinilla ja tangentilla on tarkat arvot, jotka voidaan johtaa kahdesta suorakulmaisesta kolmiosta. Taulukko kokoaa tulokset, ja seuraavat kuviot selittävät murtolukujen ja juurten alkuperän ilman desimaalipyöristyksiä.

Tarkkojen arvojen taulukko

Valitse kulman rivi ja funktion sarake. Arvot ovat pituuksien suhteita, joten niillä ei ole yksikköä. Murtoluvut ja juuret säilyttävät arvot tarkkoina.

Kulmien 30° ja 60° arvojen johtaminen

Aloita tasasivuisesta kolmiosta, jonka sivu on 2. Korkeusjana jakaa sen kahdeksi yhteneväksi suorakulmaiseksi kolmioksi. Hypotenuusa on 2, lyhyt kateetti 1 ja terävät kulmat 30° sekä 60°. Pythagoraan lause antaa toisen kateetin h:

Kulman 30° vastainen kateetti on 1 ja hypotenuusa 2, joten sini on puolet. Kosini vertaa viereistä kateettia samaan hypotenuusaan. Kulmalla 60° kateetit vaihtavat tehtäviä. Siksi 30°:n sini on sama kuin 60°:n kosini ja päinvastoin.

Miksi 45°:n sini ja kosini ovat samat?

Sivultaan 1 olevan neliön lävistäjä muodostaa kaksi tasakylkistä suorakulmaista kolmiota. Terävät kulmat ovat 45° ja lävistäjä on hypotenuusa:

Yhtä pitkät kateetit antavat saman sinin ja kosinin. Jaa kateetti hypotenuusalla ja lavenna niin, ettei nimittäjässä ole juurta, niin saat taulukon murtoluvun. Tangentti on 1, koska se vertaa yhtä pitkiä kateetteja.

Tangentin laskeminen sinistä ja kosinista

Tangentti on vastaisen kateetin suhde viereiseen kateettiin. Myös seuraava yhteys pätee:

60°:n kulman vastaisen kateetin laskeminen

Suorakulmaisessa kolmiossa 60°:n kulman viereinen kateetti on 4 cm. Etsimme vastaista kateettia h. Annettu pituus ei ole hypotenuusa.

1. Valitse tangentti, sillä se yhdistää vastaisen ja viereisen kateetin. Merkitse h osoittajaan ja 4 nimittäjään.

   $$\tan 60°=\frac{h}{4}$$

2. Kerro yhtälön molemmat puolet neljällä ratkaistaksesi h:n. Suhdeluku antaa näin etsityn pituuden.

   $$h=4\times \tan 60°$$

3. Korvaa tangentti taulukon tarkalla arvolla. Laske desimaalinen likiarvo vasta lopuksi.

   $$h=4\sqrt{3}\approx \mathrm{6,93}\text{cm}$$

Vastainen kateetti on tarkasti neljä kertaa kolmen neliöjuuri senttimetreinä, noin 6,93 cm. Valitse laskimesta asteet, jos tarkistat tuloksen.

Kulmalla 30° saadaan kolmen neliöjuuren käänteisluku. Osoittajan ja nimittäjän kertominen samalla juurella antaa taulukon muodon. Kulmalla 60° tangentti on kolmen neliöjuuri.

Taulukon palauttaminen mieleen

Ota kulmien 30°, 45° ja 60° siniä varten lukujen 1, 2 ja 3 neliöjuuret ja jaa jokainen kahdella. Kosinia varten käännä järjestys. Laske tangentit sitten osamäärinä. Muistisääntö koskee näitä kolmea kulmaa, ei mielivaltaisia astelukuja.

Valitse laskimesta asteet, kun tarkistat desimaaleja. Radiaanitilassa samat syötetyt luvut tarkoittavat eri kulmia. Taulukon arvot ovat tarkkoja, pyöristetyt desimaalit likiarvoja. Lue myös asteista ja radiaaneista.