O seno, o cosseno e a tangente de 30°, 45° e 60° têm valores exatos que podem ser obtidos com dois triângulos retângulos. A tabela reúne esses valores; as construções seguintes explicam a sua origem, sem depender de aproximações decimais.
Tabela do seno, cosseno e tangente
Leia a linha do ângulo pretendido. As razões não têm unidade de comprimento. As frações e as raízes mantêm os resultados exatos.
| α | sin α | cos α | tan α |
|---|---|---|---|
| 30° | |||
| 45° | |||
| 60° |
De onde vem a raiz de três em 30° e 60°?
Considere um triângulo equilátero de lado 2. A altura divide-o em dois triângulos retângulos congruentes, cada um com hipotenusa 2, cateto menor 1 e ângulos agudos de 30° e 60°. Pelo teorema de Pitágoras, o outro cateto h satisfaz:
Para 30°, o cateto oposto mede 1 e a hipotenusa mede 2, pelo que o seno é metade. O cosseno compara o outro cateto com a mesma hipotenusa. Para 60°, os catetos oposto e adjacente trocam de papel. Por isso, o seno de 30° coincide com o cosseno de 60°, e inversamente.
Como se obtêm os valores de 45°?
Trace uma diagonal num quadrado de lado 1. Formam-se dois triângulos retângulos de catetos iguais, com ângulos agudos de 45°. A diagonal é a hipotenusa:
Como os catetos têm o mesmo comprimento, o seno e o cosseno são iguais. Dividir um cateto pela hipotenusa e racionalizar o denominador conduz à fração da tabela. A tangente é 1, pois resulta da divisão de dois catetos iguais.
Calcular a tangente a partir das outras razões
A tangente compara o cateto oposto com o adjacente. Também pode ser calculada dividindo o seno pelo cosseno:
Calcular um cateto oposto a um ângulo de 60°
Num triângulo retângulo, o cateto adjacente a um ângulo de 60° mede 4 cm. Vamos determinar o cateto oposto h. A medida fornecida é de um cateto, não da hipotenusa.
Escolha a tangente, pois relaciona os catetos oposto e adjacente. Coloque h no numerador e 4 no denominador.
Multiplique os dois membros por 4 para isolar h. O quociente passa assim a dar o comprimento procurado.
Substitua a tangente pelo valor exato da tabela. Só depois calcule uma aproximação decimal.
O cateto oposto mede exatamente quatro vezes a raiz de três centímetros, aproximadamente 6,93 cm. Se confirmar numa calculadora, use o modo de graus.
Para 30°, obtém-se o inverso da raiz de três. Multiplicar o numerador e o denominador por essa raiz dá a forma racionalizada da tabela. Para 60°, a tangente é a raiz de três.
Como reconstruir a tabela
Para o seno de 30°, 45° e 60°, escreva as raízes de 1, 2 e 3, dividindo cada uma por 2. Para o cosseno, use a sequência inversa. Calcule depois a tangente pelo quociente. Esta regra ajuda a recordar os três ângulos; não se aplica a ângulos arbitrários.
Se conferir os resultados numa calculadora, selecione graus. O modo de radianos interpreta os números de outra forma. Os valores da tabela são exatos; os decimais arredondados são aproximações. Reveja a ligação entre graus, radianos e amplitude de um ângulo.
