Uma circunferência é o conjunto dos pontos de um plano que estão à mesma distância positiva de um centro. Essa distância é o raio. A equação permite verificar se um ponto pertence à curva e identificar centro e raio mesmo quando aparecem disfarçados numa expressão desenvolvida.
A forma reduzida revela o centro
Sejam C(a, b) o centro e r o raio. As diferenças horizontal e vertical entre C e um ponto (x, y) formam catetos de um triângulo retângulo. A fórmula da distância fornece a expressão seguinte.
Os sinais das coordenadas do centro são opostos aos das constantes dentro dos parênteses. Se o centro for a origem, desaparecem as translações. Uma corda liga dois pontos da curva; quando passa pelo centro, é um diâmetro e mede o dobro do raio.
Forma geral e existência de uma circunferência real
Ao desenvolver os quadrados surgem termos quadráticos com coeficientes iguais e sem produto de x por y. Com coeficientes D, E e F, o centro obtém-se tomando os opostos de metade de D e de E. O quadrado do raio é dado pela segunda expressão.
Esse valor deve ser positivo para existir uma circunferência não degenerada. Se for zero, há apenas um ponto; se for negativo, não há pontos reais. Caso os termos quadráticos tenham outro coeficiente comum não nulo, divida primeiro toda a equação por ele.
Exemplo resolvido: completar os quadrados
Agrupe os termos em x e em y. Metade de −6 é −3, pelo que o primeiro quadrado exige somar 9. Metade de 4 é 2, pelo que o segundo exige somar 4. Some os mesmos valores ao outro membro para manter a igualdade.
O centro é (3, −2) e o raio é 5. Ao desenvolver a forma reduzida, as constantes somam 13; retirando 25, recupera-se −12. O número 25 representa o quadrado do raio, não o próprio raio.
Comprimento da curva e área do disco
A circunferência tem comprimento; o círculo por ela delimitado tem área. O primeiro usa unidades de comprimento e a segunda unidades quadradas.
Manter π permite escrever valores exatos. O círculo trigonométrico corresponde ao caso particular com centro na origem e raio 1.
