Un cercle rassemble les points du plan situés à une distance positive fixe d’un centre. Cette distance est le rayon. Son équation permet de vérifier l’appartenance d’un point et de retrouver centre et rayon même dans une forme développée.
La forme canonique indique le centre
Pour un centre C(a, b) et un rayon r, les écarts horizontaux et verticaux jusqu’à (x, y) forment les côtés d’un angle droit. La formule de distance donne :
Les coordonnées du centre portent les signes opposés aux constantes dans les parenthèses. À l’origine, les décalages disparaissent. Une corde relie deux points du cercle ; celle qui passe par le centre est un diamètre de longueur double du rayon.
Forme développée et existence réelle
Les termes quadratiques ont des coefficients égaux et il n’existe pas de produit de x par y. Avec les coefficients D, E et F, les coordonnées du centre sont les opposés des moitiés de D et E. Le rayon au carré s’obtient ainsi :
Il doit être positif pour un cercle non dégénéré. Zéro donne un point et une valeur négative ne donne aucun point réel. Si les termes quadratiques ont un autre coefficient commun non nul, divisez d’abord toute l’équation par lui.
Exemple corrigé : compléter les carrés
Regroupez les termes en x et ceux en y. La moitié de −6 vaut −3, dont le carré est 9. La moitié de 4 vaut 2, dont le carré est 4. Ajoutez ces quantités aux deux membres après déplacement de la constante.
Le centre est (3, −2) et le rayon vaut 5. En redéveloppant, les constantes donnent 13 − 25, soit −12. Le nombre 25 représente le carré du rayon.
Longueur du cercle et aire du disque
La courbe possède une longueur ; la région intérieure est un disque dont on mesure l’aire. Les unités sont respectivement linéaires et carrées.
Conserver π maintient des valeurs exactes. Le cercle trigonométrique correspond au centre à l’origine et au rayon 1.
