Ein Kreis besteht aus den Punkten einer Ebene, die denselben positiven Abstand von einem Mittelpunkt haben. Dieser Abstand ist der Radius. Die Gleichung prüft die Zugehörigkeit von Punkten und macht Mittelpunkt und Radius auch aus einer ausmultiplizierten Form bestimmbar.
Mittelpunktform richtig lesen
Für den Mittelpunkt C(a, b) und den Radius r bilden die horizontalen und vertikalen Abstände zu (x, y) ein rechtwinkliges Dreieck. Aus der Abstandsformel folgt:
Die Mittelpunktkoordinaten haben die umgekehrten Vorzeichen der Konstanten in den Klammern. Beim Ursprung fallen die Verschiebungen weg. Eine Sehne verbindet zwei Kreispunkte; durch den Mittelpunkt wird sie zum Durchmesser mit doppelter Radiuslänge.
Allgemeine Form und Bedingung für einen Kreis
Beide Quadratterme besitzen gleiche Koeffizienten; ein Produkt aus x und y kommt nicht vor. Bei D, E und F erhältst du die Mittelpunktkoordinaten als negative Hälften von D und E. Das Radiusquadrat lautet:
Es muss positiv sein. Null ergibt nur einen Punkt, ein negativer Wert keine reellen Punkte. Haben beide Quadratterme einen anderen gemeinsamen Koeffizienten ungleich null, teile zunächst die ganze Gleichung dadurch.
Rechenbeispiel zur quadratischen Ergänzung
Gruppiere die x- und y-Terme. Die Hälfte von −6 ist −3, ihr Quadrat 9. Die Hälfte von 4 ist 2, ihr Quadrat 4. Ergänze dieselben Werte auf beiden Seiten, nachdem die Konstante verschoben wurde.
Der Mittelpunkt ist (3, −2), der Radius 5. Beim Ausmultiplizieren ergeben die Konstanten 13 − 25 = −12. Die Zahl 25 bezeichnet das Quadrat des Radius.
Kreisumfang und eingeschlossene Fläche
Die Kurve hat eine Länge, die eingeschlossene Kreisscheibe einen Flächeninhalt. Dafür verwendet man Längen- beziehungsweise Flächeneinheiten.
Mit π bleiben Ergebnisse exakt. Der Einheitskreis besitzt Mittelpunkt im Ursprung und Radius 1.
