Una circunferencia reúne los puntos de un plano que están a una distancia positiva fija de un centro. Esa distancia es el radio. Su ecuación permite comprobar si un punto pertenece a ella y recuperar centro y radio de una expresión desarrollada.
Forma ordinaria: leer el centro
Para centro C(a, b) y radio r, las diferencias horizontal y vertical hasta (x, y) forman los catetos de un triángulo rectángulo. La fórmula de distancia conduce a esta ecuación.
Las coordenadas del centro tienen signos opuestos a las constantes dentro de los paréntesis. Si el centro es el origen, desaparecen esos desplazamientos. Una cuerda une dos puntos de la curva; si pasa por el centro, es un diámetro y mide el doble del radio.
Forma general y condición de existencia
Los términos cuadrados tienen coeficientes iguales y no aparece producto de x por y. Con coeficientes D, E y F, el centro se obtiene cambiando el signo de la mitad de D y E. El cuadrado del radio se calcula así:
Debe ser positivo para una circunferencia real no degenerada. Cero da un punto y un valor negativo no da puntos reales. Divide primero por el coeficiente común de los términos cuadrados si no es uno.
Ejemplo resuelto completando cuadrados
Agrupa las variables. La mitad de −6 es −3 y su cuadrado es 9; la mitad de 4 es 2 y su cuadrado es 4. Añade esas cantidades a ambos miembros tras pasar la constante al otro lado.
El centro es (3, −2) y el radio 5. Al desarrollar, las constantes suman 13 y restar 25 recupera −12. El 25 es el radio al cuadrado, no el radio.
Longitud y área encerrada
La curva tiene longitud; el disco interior tiene área. Sus unidades son lineales y cuadradas, respectivamente.
Conservar π mantiene los valores exactos. La circunferencia trigonométrica es el caso con centro en el origen y radio 1.
