Una circonferenza è l’insieme dei punti del piano a una distanza positiva fissa da un centro. Tale distanza è il raggio. L’equazione permette di verificare se un punto appartiene alla curva e di recuperare centro e raggio da un’espressione sviluppata.
Leggere la forma canonica
Per centro C(a, b) e raggio r, le differenze orizzontale e verticale fino a (x, y) formano i cateti di un triangolo rettangolo. La formula della distanza dà:
Le coordinate del centro hanno segni opposti alle costanti nelle parentesi. Se il centro è l’origine, gli spostamenti spariscono. Una corda unisce due punti della curva; se passa per il centro, è un diametro lungo due raggi.
Forma generale e condizione di esistenza
I termini quadratici hanno coefficienti uguali e manca il prodotto di x per y. Con D, E e F, le coordinate del centro sono gli opposti delle metà di D ed E. Il quadrato del raggio si ricava così:
Deve essere positivo per una circonferenza reale non degenere. Zero dà un punto, un valore negativo nessun punto reale. Se i termini quadratici hanno un altro coefficiente comune non nullo, dividi prima tutta l’equazione per esso.
Esempio: completare i quadrati
Raggruppa x e y. Metà di −6 è −3 e il suo quadrato è 9; metà di 4 è 2 e il suo quadrato è 4. Aggiungi queste quantità a entrambi i membri dopo aver spostato la costante.
Il centro è (3, −2), il raggio 5. Sviluppando di nuovo, le costanti danno 13 − 25 = −12. Il numero 25 è il quadrato del raggio.
Lunghezza della curva e area interna
La circonferenza ha una lunghezza; il cerchio delimitato ha un’area. Le unità sono rispettivamente lineari e quadrate.
Conservare π mantiene risultati esatti. La circonferenza goniometrica ha centro nell’origine e raggio 1.
