A distância entre dois pontos é o comprimento do segmento que os une. Em coordenadas cartesianas, as variações horizontal e vertical formam catetos perpendiculares. Os sinais desaparecem ao elevar ao quadrado; a distância é sempre não negativa.
Construir a fórmula com Pitágoras
Subtraia as abcissas e as ordenadas pela mesma ordem, eleve as diferenças ao quadrado, some e extraia a raiz não negativa. A fórmula vale para quaisquer pontos no plano, incluindo alinhamentos horizontais e verticais.
Se uma coordenada coincidir, essa diferença é zero e resta o valor absoluto da outra diferença. Pontos coincidentes têm distância zero. Trocar a ordem dos pontos não altera o resultado.
Exemplo: A(2, 3) e B(3, 1)
A variação horizontal é 1 e a vertical −2. Os quadrados são 1 e 4, pelo que a distância é a raiz de 5, não a raiz de 2. Conserve o valor exato antes de arredondar.
Acrescentar a terceira coordenada
No espaço, some também o quadrado da diferença das coordenadas z dentro da raiz. Aplica-se Pitágoras primeiro num plano e depois à direção perpendicular restante.
Para A(1, 2, 3) e B(4, 3, 1), as diferenças são 3, 1 e −2 e a soma dos quadrados é 14.
Quando ambos os valores de z são zero, os pontos continuam a pertencer ao espaço, mas situam-se no plano coordenado. A fórmula bidimensional dá o mesmo resultado.
Mover o ponto B no plano
O ponto A fica em (2, 3). Altere B para comparar a distância direta com as componentes horizontal e vertical.
Use unidades compatíveis e eixos perpendiculares. A fórmula euclidiana não calcula diretamente trajetos por ruas nem distâncias entre latitude e longitude. Compare com o declive de uma reta.
