Distância Entre Dois Pontos

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A distância entre dois pontos na geometria é uma medida entre um ponto A e um ponto B estabelecida por um segmento de reta entre esses pontos. A medida entre os pontos equivale a medida do segmento de reta que ligam eles.

Índice do Artigo

Distância entre dois pontos no plano cartesiano

No plano cartesiano conseguimos encontrar a distância através do par ordenado (x, y). Isso só é possível quando as pontos A e B estão alinhados horizontalmente ou verticalmente.

Quando os pontos estiverem em outra posição, como na diagonal, por exemplo, precisamos calcular a distância de outra forma.

Exemplo:

1) Encontre a distância entre os pontos A(2, 2) e B(3, 2):

a distância entre os pontos
A distância entre A e B

A distância entre A e B é:

d(A, B) = B(3, 2) – A(2, 2) = 3 – 2 = 1

1) Qual a distância entre os pontos A(1, 3) e B(3, 1)?

a distância entre os pontos
Cálculo da distância entre A e B

Perceba que a distância entre os pontos dados forma um triângulo retângulo com catetos mediando 2 e 2, a outra medida equivale a medida da hipotenusa.

Para encontrar a medida entre os pontos, neste caso, podemos usar o Teorema de Pitágoras. Veja:

[d(A, B)]² = 2² + 2² = √8 = 2√2

Fórmula para calcular a distância entre dois pontos

Para calcular a distância entre dois pontos temos a fórmula a seguir:

Fórmula para calcular a distância entre dois pontos
Fórmula para calcular a distância entre dois pontos

Essa fórmula serve para calcular a distância entre dois pontos no plano em que temos as coordenadas associadas a cada ponto. Por exemplo, A(x1, y1) e B(x2, y2).

Exemplo:

1) Calcule a distância entre os pontos A(2, 3) e B(3, 1).

Aplicando a fórmula, temos:

d(A, B) = √((2 – 3)² + (3 – 1)²) = √((-1)² + 1²) = √(1 + 1) = √2

Leia mais sobre o assunto:

Distância entre dois pontos no espaço

Para calcular a distância entre dois pontos no espaço devemos considerar agora três coordenadas associadas aos pontos, as coordenadas x, y e z.

Da mesma forma que no plano de duas coordenadas, quando os pontos estão horizontalmente ou verticalmente é fácil ver visualmente a medida equivalente a distância entre eles.

Porém, quando os pontos estão na diagonal no espaço, por exemplo, precisamos de uma outra forma para calcular a distância entre eles.

Exemplo:

1) Calcule a distância entre os pontos A(2, 1, 0) e B(3, 2, 0).

Veja que nos pontos a coordenada z possui valor igual a 0, dessa forma os pontos estão no plano e não no espaço.

Distância entre dois pontos no espaço
Distância entre dois pontos no espaço

Então, a distância entre eles é:

[d(A, B)]² = (3 – 2)² + (2 – 1)² = 1² + 1² = √2

Fórmula da distância entre dois pontos no espaço

Generalizando, podemos calcular a distância entre dois pontos A e B no espaço usando a seguinte fórmula:

Fórmula da distância entre dois pontos no espaço
Fórmula da distância entre dois pontos no espaço

Exemplo:

1) Calcule a distância entre os pontos A(1, 2, 3) e B(4, 3, 1).

Distância entre dois pontos A e B no espaço
Distância entre dois pontos A e B no espaço

d(A, B, C) = √((4 – 1)² + (3 – 2)² + (1 – 3)²) = √(3² + 1² + (-2)²) = √(9 + 1 + 4) = √14

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Créditos: Imagens renderizadas utilizando o Geogebra.


Jean Carlos Novaes by