O binómio de Newton permite desenvolver uma potência inteira não negativa de uma soma de dois termos sem repetir todas as multiplicações. Cada parcela combina um coeficiente binomial com potências dos dois termos. O mesmo padrão permite calcular apenas uma parcela do desenvolvimento.
Como interpretar um coeficiente binomial?
O coeficiente de entradas n e k conta escolhas de k posições entre n. Não é uma fração comum: as duas entradas indicam uma combinação. Aqui, n é inteiro não negativo e k varia de zero a n; o fatorial de zero é um.
Escolher duas posições entre oito equivale a deixar seis de fora. Esta correspondência explica a igualdade dos coeficientes de entradas inferiores k e n − k na mesma linha.
A fórmula e a ordem dos expoentes
Na fórmula finita, o expoente de a diminui uma unidade a cada parcela e o de b aumenta uma unidade. A soma dos dois expoentes permanece igual a n. Antes de reduzir termos semelhantes, existem n + 1 posições.
Numa diferença, inclua o sinal negativo no segundo termo. As suas potências ímpares produzem parcelas negativas e as pares produzem positivas. A expressão finita não se aplica, sem alterações, a qualquer expoente real.
Triângulo de Pascal: a primeira linha é a linha zero
No topo está 1. Cada linha começa e termina em 1, e cada entrada interior é a soma das duas imediatamente acima. A linha três fornece os coeficientes 1, 3, 3, 1 do desenvolvimento de um cubo.
Exemplo: desenvolver o cubo de x + 3
Use a linha três, faça o expoente de x descer de três até zero e o de 3 subir de zero até três. Efetue os produtos numéricos de cada parcela antes de escrever o resultado simplificado.
O quinto termo usa k = 4
A numeração do termo é k + 1 porque o primeiro corresponde a k = 0. Para determinar o quinto termo, substitua k por 4 na fórmula seguinte.
Na quinta potência da soma do cubo de x com 2, tome a como o cubo de x, b como 2 e n como 5. Considerando os expoentes de x em ordem decrescente, resulta:
O significado combinatório dos coeficientes é desenvolvido em análise combinatória.
