Het binomium van Newton werkt een niet-negatieve gehele macht van een som met twee termen uit. Je hoeft daardoor niet alle factoren herhaaldelijk te vermenigvuldigen. Elke term combineert een coëfficiënt met machten van beide delen; ook één term is apart te bepalen.
Wat telt een binomiaalcoëfficiënt?
De getallen n en k tellen keuzes van k posities uit n. De notatie boven elkaar is geen gewone breuk. n is een niet-negatief geheel getal en k loopt van nul tot n; nul faculteit is één.
Twee posities uit acht kiezen komt overeen met zes weglaten. Dat verklaart de symmetrie tussen k en n − k.
De exponenten veranderen in tegengestelde richting
De exponent van a daalt per term met één en die van b stijgt met één. Hun som blijft n. Er zijn n + 1 posities voordat gelijksoortige termen worden samengenomen.
Neem bij een verschil het minteken mee in de tweede term. Oneven machten daarvan zijn negatief, even machten positief. De eindige formule geldt niet ongewijzigd voor willekeurige reële exponenten.
De driehoek van Pascal begint bij rij nul
Bovenaan staat 1. Elke rij begint en eindigt met 1; binnenste getallen zijn de som van de twee erboven. Rij drie bevat 1, 3, 3, 1 voor een derde macht.
Voorbeeld: de derde macht van x + 3
Gebruik rij drie. Laat de macht van x dalen van drie naar nul en de macht van 3 stijgen van nul naar drie. Reken daarna de numerieke producten uit.
De vijfde term heeft k = 4
Het termnummer is k + 1 omdat de eerste term k = 0 gebruikt. Vul voor de vijfde dus k = 4 in.
Bij de vijfde macht van de som van de derde macht van x en 2 neem je a als de derde macht van x, b = 2 en n = 5. In dalende x-machten volgt:
De telbetekenis staat bij permutaties en combinaties.
