Dwumian Newtona rozwija nieujemną całkowitą potęgę sumy dwóch wyrażeń. Nie trzeba kolejno wymnażać wszystkich czynników. Każdy wyraz łączy współczynnik dwumianowy z potęgami obu składników; można też obliczyć tylko jedną pozycję.
Co liczy współczynnik dwumianowy?
Liczby n i k oznaczają wybór k pozycji spośród n. Zapis piętrowy nie jest zwykłym ułamkiem. n jest nieujemną liczbą całkowitą, k biegnie od zera do n, a silnia zera wynosi jeden.
Wybranie dwóch pozycji z ośmiu odpowiada pominięciu sześciu. Wyjaśnia to symetrię między k a n − k.
Wykładniki zmieniają się przeciwnie
Wykładnik a maleje w każdym wyrazie o jeden, a wykładnik b rośnie o jeden. Ich suma pozostaje równa n. Przed redukcją wyrazów podobnych istnieje n + 1 pozycji.
Dla różnicy uwzględnij minus jako część drugiego składnika. Jego nieparzyste potęgi są ujemne, parzyste dodatnie. Ten skończony wzór nie dotyczy bez zmian dowolnych wykładników rzeczywistych.
Trójkąt Pascala zaczyna się od wiersza zero
Na górze jest 1. Każdy wiersz zaczyna się i kończy jedynką; wewnętrzne liczby sumują dwie pozycje wyżej. Wiersz trzeci daje współczynniki 1, 3, 3, 1 dla sześcianu.
Przykład: sześcian sumy x + 3
Użyj trzeciego wiersza. Obniżaj wykładnik x od trzech do zera i podwyższaj wykładnik 3 od zera do trzech. Następnie oblicz iloczyny liczbowe.
Piąty wyraz wymaga k = 4
Numer wyrazu wynosi k + 1, bo pierwszy odpowiada k = 0. Dla piątego podstaw zatem k = 4.
W piątej potędze sumy sześcianu x i liczby 2 przyjmij a jako sześcian x, b = 2 oraz n = 5. Przy malejących potęgach x otrzymujesz:
Znaczenie zliczania wyjaśniają permutacje i kombinacje.
