Il binomio di Newton sviluppa una potenza intera non negativa di una somma di due termini. Evita di moltiplicare ripetutamente tutti i fattori. Ogni addendo combina un coefficiente con le potenze dei due termini; puoi anche calcolare una sola posizione.
Interpretare il coefficiente binomiale
Le due entrate n e k contano le scelte di k posizioni fra n. Non sono numeratore e denominatore di una frazione ordinaria. n è intero non negativo e k varia da zero a n; il fattoriale di zero vale uno.
Scegliere due posizioni fra otto equivale a lasciarne fuori sei. Questo spiega la simmetria fra k e n − k.
Come cambiano gli esponenti
L’esponente di a diminuisce di uno a ogni addendo, quello di b aumenta di uno. La somma rimane n. Prima di ridurre termini simili, lo sviluppo ha n + 1 posizioni.
Per una differenza, considera il segno negativo parte del secondo termine. Le sue potenze dispari sono negative, quelle pari positive. La formula finita non vale invariata per qualsiasi esponente reale.
Triangolo di Tartaglia o di Pascal
La riga iniziale, numerata zero, contiene 1. Ogni riga inizia e finisce con 1 e le entrate interne sommano le due superiori. La riga tre dà 1, 3, 3, 1, coefficienti di un cubo.
Esempio: sviluppare il cubo di x + 3
Usa la riga tre. Fai scendere l’esponente di x da tre a zero e salire quello di 3 da zero a tre, poi svolgi i prodotti numerici.
Il quinto termine usa k = 4
La posizione è k + 1 perché il primo termine parte da k = 0. Per il quinto sostituisci quindi k con 4.
Nella quinta potenza della somma del cubo di x e 2, scegli a come il cubo di x, b = 2 e n = 5. Ordinando per potenze decrescenti di x ottieni:
Il significato di conteggio è approfondito in permutazioni e combinazioni.
